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Cauchy étant le fondateur de l’analyse complexe (voir article « Aux origines de l'analyse complexe »), une bonne partie des résultats désormais reconnus comme fondamentaux dans ce domaine porte aujourd’hui son nom. Une notable exception est le théorème de Liouvillfe, qui indique qu’une fonction holomorphe (c’est-à-dire dérivable au sens des nombres complexes) n’est bornée que lorsqu’elle est constante. Sans entrer dans les détails, disons qu’il s’agit d’un théorème qui donne de précieux renseignements sur les contraintes qui s’exercent sur une vaste classe de fonctions.
Cauchy a revendiqué en vain la paternité de ce résultat. Il est vrai que celui-ci peut effectivement être obtenu comme une conséquence relativement simple de ses propres travaux. Si la postérité n’a pas fait droit à sa requête, c’est qu’il semble que Cauchy n’ait tout bonnement pas songé à énoncer ce résultat. C’est donc au mathématicien Joseph Liouville (1809-1882) que ce dernier est attribué… même s’il semble qu’on n’en trouve pas davantage de trace explicite dans ses travaux !
Cauchy ? Non : Poisson !
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Soit un cercle C de centre O et de rayon 1, et soit la droite D tangente au cercle en un point A. Choisissons un point P aléatoirement sur le cercle, et marquons le point Q, intersection de la droite (OP ) avec la droite D. En termes probabilistes, la longueur AQ (comptée positivement d’un côté de A et négativement de l’autre) définit la distribution de Cauchy (voir article « Une distribution pas comme les autres »). Cette loi de probabilité présente la propriété inattendue de ne pas posséder de moyenne : en répétant l’expérience et en calculant la moyenne des longueurs AQ successivement obtenues, on ne s’approche en général pas d’une valeur limite — pas même de la valeur 0 malgré la symétrie de l’expérience.
