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Como fundador del análisis complejo (véase el artículo « Los orígenes del análisis complejo »), Cauchy da hoy nombre a buena parte de los resultados reconocidos como fundamentales en este campo. Una excepción notable es el teorema de Liouville, que establece que una función holomorfa —es decir, derivable en el sentido de los números complejos— solo es acotada si es constante. Sin entrar en detalles, digamos que se trata de un teorema que aporta valiosa información sobre las restricciones a las que está sometida una amplia clase de funciones.
Cauchy reivindicó en vano la autoría de este resultado. Es cierto que puede obtenerse como una consecuencia relativamente sencilla de sus propios trabajos. Si la posteridad no atendió su petición, fue porque parece que a Cauchy sencillamente no se le ocurrió enunciar este resultado. Por tanto, se atribuye al matemático Joseph Liouville (1809-1882)… ¡aunque tampoco parece que haya más rastro explícito de él en sus trabajos!
¿Cauchy? ¡No: Poisson!
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Sea un círculo C de centro O y radio 1, y sea la recta D tangente al círculo en un punto A. Elijamos al azar un punto P sobre el círculo y marquemos el punto Q, intersección de la recta (OP ) con la recta D. En términos probabilísticos, la longitud AQ (tomada como positiva a un lado de A y negativa al otro) define la distribución de Cauchy (véase el artículo « Una distribución diferente de las demás »). Esta distribución de probabilidad tiene la inesperada propiedad de no poseer media: al repetir el experimento y calcular la media de las longitudes AQ obtenidas sucesivamente, por lo general no nos acercamos a ningún valor límite, ni siquiera al valor 0 pese a la simetría del experimento.
