Los trabajos de Cauchy que fundamentan el análisis complejo se sitúan grosso modo entre 1814 y 1831. En 1814 presenta su Mémoire sur les intégrales définies (¡que tiene casi 200 páginas!), asunto que le ocupa hasta sus dos Memorias de Turín, presentadas en 1831.
Aunque utilizó estos resultados en trabajos posteriores, no realizó otras aportaciones sustanciales a esta teoría hasta 1849. Los primeros trabajos de Cauchy resultan especialmente interesantes porque se inscriben en una tradición de cálculos y reflexiones sobre la legitimidad de estos cálculos.
La ecuación de Cauchy-Riemann antes de Cauchy -------------------------------------------
En una memoria de 1740 sobre integración, Alexis Clairaut había demostrado que, siendo P y Q polinomios, la forma diferencial \ P(x, y) dx + Q(x, y) dy es exacta si la derivada de P respecto de la variable x es igual a la derivada de Q respecto de la variable y* (resultado obtenido al mismo tiempo por Euler, sin que Clairaut tuviera noticia de ello).
(\ Entre otras cosas, una forma diferencial permite asociar un número a una curva mediante un procedimiento de integración. Se dice que una forma diferencial es exacta* (en la época de Clairaut se decía «completa») si, en un sentido preciso, el número asociado a una curva depende únicamente de sus puntos de partida y de llegada.)