I lavori di Cauchy che fondano l’analisi complessa risalgono grosso modo al periodo 1814-1831. Nel 1814 presentò la sua Memoria sugli integrali definiti (di quasi 200 pagine!), argomento che lo appassionò fino alle due Memorie di Torino presentate nel 1831.
Benché utilizzasse questi risultati in lavori successivi, Cauchy non apportò altri contributi sostanziali a questa teoria prima del 1849. I suoi primi lavori sono particolarmente interessanti perché si inseriscono in una tradizione di calcoli e interrogativi sulla legittimità di tali calcoli.
L’equazione di Cauchy-Riemann ante litteram -------------------------------------------
In una memoria del 1740 sull’integrazione, Alexis Clairaut aveva dimostrato che, P e Q essendo polinomi, la forma differenziale \ P(x, y) dx + Q(x, y) dy è esatta se la derivata di P rispetto alla variabile x è uguale alla derivata di Q rispetto alla variabile y* (un risultato ottenuto nello stesso periodo da Eulero, senza che Clairaut ne fosse a conoscenza).
(\ Fra le altre cose, una forma differenziale può associare un numero a una curva, mediante un procedimento che rientra nell’integrazione. Una forma differenziale si dice esatta* (all’epoca di Clairaut si diceva «completa») se, in un senso preciso, il numero associato a una curva dipende soltanto dai suoi punti di partenza e di arrivo.)