Dopo l’accoglienza molto favorevole riservata alla sua prima memoria sui poliedri (vedi l’articolo «Prime scoperte»), Cauchy redasse una seconda memoria, letta in seduta il 20 gennaio 1812, il cui teorema centrale è il seguente: «Due poliedri convessi sono uguali quando hanno lo stesso numero di facce, uguali a due a due.» Intuitivamente, si comprende che ciò rende indeformabile ogni poliedro convesso, purché lo si supponga costituito da aste rigide: se fosse possibile modificare gli angoli fra i suoi spigoli, si otterrebbe un nuovo poliedro, che potrebbe restare convesso pur avendo le stesse facce, in contraddizione con il teorema.
L’enunciato originario di Cauchy diede in seguito luogo a numerose generalizzazioni e continua a ispirare la ricerca. Nel 19º secolo furono così presentati vari poliedri non convessi e non rigidi, spesso con autointersezioni. L’argomento conobbe una seconda giovinezza nella seconda metà del 20º secolo, prima con la sfera di Connelly e poi con la congettura del soffietto (vedi l’articolo «Gonfiare i poliedri»).
Due corollari già in Euclide! ------------------------------------
Il teorema esposto da Cauchy nella sua memoria è in realtà più generale di un risultato di rigidità e permette al suo autore di dedurne due importanti corollari: «Due poliedri convessi, aventi lo stesso numero di facce uguali e disposte in modo analogo, sono sovrapponibili oppure simmetrici e, in entrambi i casi, necessariamente uguali» e «Quando due poliedri convessi hanno lo stesso numero di facce simili e disposte in modo analogo, il secondo è simile al primo oppure a un terzo poliedro simmetrico del primo.»
Curiosamente, questi due risultati erano implicitamente noti nelle due definizioni fornite da Euclide nel libro XI dei suoi Elementi (definizioni 9 e 10), come osservò lo stesso Cauchy, segnalando cortesemente che tali risultati vi sono «racchiusi». Così, duemila anni dopo, le «definizioni» erano diventate teoremi.
Dimostrazioni problematiche -----------------------
Benché le sue memorie fossero di straordinaria chiarezza, Cauchy faticò un po’ a convincere l’accademico Étienne Louis Malus (1775-1812) della validità delle sue dimostrazioni. Per fortuna Legendre, Carnot e Biot, che esaminarono la sua relazione in commissione, mostrarono grande entusiasmo. Il giovane Cauchy ne ricavò un certo prestigio, che gli aprì le porte della Société philomatique, una sorta di primo passo prima di poter entrare nell’Académie des sciences.
Senza saperlo, Malus non aveva però tutti i torti. Negli anni Venti del Novecento, infatti, il matematico tedesco Ernst Steinitz (1871-1928) individuò, e poi corresse, un errore nella dimostrazione originaria di Cauchy. Ciò non impedì allo specialista di topologia algebrica Hans Freudenthal (1905-1990) di ritenere che il teorema di rigidità costituisca il contributo più significativo di Cauchy alla geometria.