Tras la excelente acogida de su primera memoria sobre los poliedros (véase el artículo « Primeros descubrimientos »), Cauchy redactó una segunda memoria, leída en sesión el 20 de enero de 1812, cuyo teorema central es el siguiente: « Dos poliedros convexos con igual número de caras, iguales dos a dos, son iguales. » Intuitivamente, se comprende que esto obliga a todo poliedro convexo a ser indeformable —si suponemos que está formado por barras rígidas—: si se pudieran modificar los ángulos entre sus aristas, se obtendría un nuevo poliedro que podría seguir siendo convexo y tener las mismas caras, lo cual contradiría el teorema.
El enunciado original de Cauchy dio lugar posteriormente a numerosas generalizaciones y sigue inspirando investigaciones. En el 19.º siglo se exhibieron varios poliedros no convexos y no rígidos, a menudo con autointersecciones. El tema experimentaría un renacer en la segunda mitad del 20.º siglo, primero con la esfera de Connelly y después con la conjetura del fuelle (véase el artículo « Inflar los poliedros »).
¡Dos corolarios que ya aparecen en Euclides! ------------------------------------
El teorema formulado por Cauchy en su memoria es, en realidad, más general que un resultado de rigidez y permite a su autor deducir de él dos corolarios importantes: « Dos poliedros convexos, con el mismo número de caras iguales y dispuestas de manera semejante, son superponibles o simétricos y, en ambos casos, necesariamente iguales » y « Cuando dos poliedros convexos tienen el mismo número de caras semejantes y dispuestas de manera semejante, el segundo es semejante al primero o a un tercer poliedro simétrico del primero. »
Curiosamente, estos dos resultados estaban implícitamente contenidos en dos definiciones que Euclides da en el libro XI de sus Elementos (definiciones 9 y 10), como el propio Cauchy señala al indicar cortésmente que tales resultados están allí « contenidos ». Así, dos mil años después, las «definiciones» acabaron convirtiéndose en teoremas.
Demostraciones problemáticas -----------------------
Aunque sus memorias son de una claridad extraordinaria, Cauchy tuvo algunas dificultades para convencer al académico Étienne Louis Malus (1775-1812) de la validez de sus demostraciones. Por fortuna, Legendre, Carnot y Biot, que se encargaron de examinar su informe, mostraron gran entusiasmo. El joven Cauchy obtuvo así cierto prestigio, que le abrió las puertas de la Société philomatique, una especie de primer paso antes de poder ingresar en la Academia de Ciencias.
Sin saberlo, Malus no estaba del todo equivocado. En efecto, en la década de 1920, el matemático alemán Ernst Steinitz (1871-1928) identificó —y después corrigió— un error en la demostración original de Cauchy. Esto no impidió que el especialista en topología algebraica Hans Freudenthal (1905-1990) considerara que el teorema de rigidez constituye la contribución más significativa de Cauchy a la geometría.