El estudio más antiguo sobre el equilibrio estático de los cuerpos convexos es sin duda el tratado De los cuerpos flotantes de Arquímedes. Sus trabajos sobre el retorno al equilibrio del casco de un navío según su forma aún se utilizaban en arquitectura naval en el 18.º siglo. Este tema se materializa en un juguete universal: el tentetieso. Este juguete debe su único punto de equilibrio estable a una masa de alta densidad situada en su base y a menudo solo tiene un punto de equilibrio inestable, en su parte superior. (A la derecha: un tentetieso Maréchal de la década de 1960.)
Pero si buscamos objetos convexos y homogéneos de este tipo, que aquí calificaremos de regulares, el problema dista mucho de ser trivial. Es fácil demostrar su inexistencia en dos dimensiones, pero en tres dimensiones la existencia de un sólido de este tipo con solo dos puntos de equilibrio, uno estable y otro inestable, no era más que una conjetura surgida de la intuición del matemático ruso Vladímir Arnold en 1995.
Los convexos y los homogéneos
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Nos interesan cuerpos apoyados sobre un plano horizontal en un campo gravitatorio vertical uniforme. Desde la invención de la rueda sabemos que puede existir un continuo de equilibrios. Los objetos con un número finito de equilibrios estables son corrientes, como los dados de nuestros juegos de mesa. Un objeto con un único punto de equilibrio estable, como el tentetieso o el buda sonriente, se denomina monoestático, y, si además solo tiene un equilibrio inestable, se califica de mono-monoestático.
