El nombre de Gabriel Cramer sigue hoy asociado a una paradoja sobre el número de puntos necesarios para definir sin ambigüedad una curva de grado* dado: ¿definen 9 puntos tomados al azar una única curva de grado 3, varias o incluso una infinidad?
(El grado de una curva del plano definida por una ecuación cartesiana de dos variables es el valor máximo que puede tomar n + m en las expresiones de la forma x ny m *.)
Una sorpresa
Estamos en 1744; tras haber dedicado todo su tiempo a la enseñanza de las matemáticas en la Academia de Ginebra y a la edición de las Œuvres complètes de los hermanos Jean y Jacques Bernoulli (véase el artículo « Itinerarios de un matemático ginebrino »), Gabriel Cramer retoma la redacción de su Introduction à l’analyse des lignes courbes algébriques, que comenzó en 1740 (el libro no se publicará finalmente hasta 1750). Al hacerlo, enuncia dos resultados que le parecen evidentes: 1.º, una curva de grado n queda definida por n × (n + 3) / 2 puntos y 2.º, dos curvas de grados m y n se cortan en mn puntos (véase el artículo « Una contribución determinante al álgebra »). Así, una recta queda definida por 1 × (1 + 3) ⁄ 2 = 2 puntos, y dos rectas se cortan generalmente en 1 × 1 = 1 punto. Una cónica (curva algebraica de grado 2) queda determinada por 2 × (2 + 3) ⁄ 2 = 5 puntos, y dos cónicas —una parábola y una elipse, por ejemplo— se cortan generalmente en 2 × 2 = 4 puntos.
Pero advierte que estos dos resultados parecen del todo contradictorios cuando se toma, por ejemplo, m = n = 3 (o más). Se lo plantea con sorpresa a Leonhard Euler (1707-1783) en una carta fechada el 30 de septiembre de 1744. Tras leer en una revista inglesa, de la pluma de cierto Sr. Braikenridge, que una curva de grado n podía quedar definida por n2 + 1 puntos (lo cual es evidentemente falso), escribe (modernizamos la ortografía):
