A lo largo de su Introducción al análisis de las líneas curvas algebraicas, Gabriel Cramer anuncia dos resultados importantes en una nota a pie de página y remite al lector a dos apéndices publicados al final de la obra. Estos dos textos, además de su importancia matemática intrínseca y de su valor histórico, revelan una auténtica dificultad para manejar expresiones algebraicas complejas con notaciones adecuadas para mediados del siglo 18.º.
Calcular un determinante de orden cualquiera
La primera nota se encuentra en el tercer capítulo, dedicado a los distintos órdenes de las curvas algebraicas. Precisemos que el orden corresponde al grado más alto. Por ejemplo, la ecuación A + By + Cx + Dy 2 + Exy + x2 = 0 es de orden 2: es una cónica. Cramer establece, con ayuda de su triángulo analítico (véase el artículo « Trazar una curva algebraica en el siglo 18.º »), que el número de puntos necesarios para definir una curva de orden n es igual a .
Este resultado puede entenderse intuitivamente gracias al triángulo analítico (véase el artículo « Trazar una curva algebraica en el siglo 18.º »): la primera fila, correspondiente al orden 0, contiene una casilla; la segunda, correspondiente al orden 1, dos casillas, etc.
Por tanto, una curva de orden n tiene 1 + 2 + … + (n + 1) casillas (aunque algunos coeficientes sean iguales a 0), es decir, (n + 1)(n + 2)/2 casillas. Ahora bien, siempre se puede dividir una ecuación por uno de sus coeficientes no nulos, con lo que este pasa sistemáticamente a valer 1; esto significa que el número de coeficientes suficiente para definir una ecuación de orden n es igual al número de casillas menos 1: [(n + 1)(n + 2)/2] – 1, que vale n(n + 3)/2.
