Au fil de son Introduction à l’analyse des lignes courbes algébriques, Gabriel Cramer annonce deux résultats importants en note de bas de page, en renvoyant le lecteur vers deux appendices publiés en fin d’ouvrage. Ces deux textes, en dehors de leur importance mathématique intrinsèque et de leur valeur historique, révèlent aussi une vraie difficulté à manipuler des expressions algébriques complexes avec des notations adaptées au milieu du XVIIIe siècle.
Calculer un déterminant d’ordre quelconque
La première note se situe dans le troisième chapitre, qui porte sur les différents ordres des lignes algébriques. Précisons que l’ordre correspond au degré le plus élevé. Par exemple, l’équation A + By + Cx + Dy 2 + Exy + x2 = 0 est d’ordre 2 : c’est une conique. Cramer établit, à l’aide de son triangle analytique (voir l'article « Tracer une courbe algébrique au XVIIIe siècle »), que le nombre de points nécessaires pour définir une courbe d’ordre n est égal à .
On peut comprendre intuitivement ce résultat grâce au triangle analytique (voir l'article « Tracer une courbe algébrique au XVIIIe siècle ») : la première ligne, correspondant à l’ordre 0, contient une case, la deuxième, correspondant à l’ordre 1, deux cases etc.
On a donc 1 + 2 + … + (n + 1) cases lorsqu’on a une courbe d’ordre n (quitte à ce que des coefficients soient égaux à 0), soit (n + 1)(n + 2)/2 cases. Or, on peut toujours diviser une équation par l’un des coefficients non nuls, le rendant donc égal à 1 systématiquement ; cela signifie que le nombre de coefficients suffisant à définir une équation d’ordre n est égal au nombre de cases moins 1 : [(n + 1)(n + 2)/2] – 1, ce qui vaut n(n + 3)/2.
