Gabriel Cramer e la regola dei determinanti nel XVIII secolo

Nel corso della sua Introduzione all’analisi delle linee curve algebriche, Gabriel Cramer annuncia in nota due risultati importanti, rinviando il lettore a due appendici pubblicate alla fine dell’opera. Questi due testi, oltre alla loro intrinseca importanza matematica e al loro valore storico, rivelano anche una reale difficoltà nel manipolare espressioni algebriche complesse con notazioni adatte alla metà del 18^º secolo.

La prima nota si trova nel terzo capitolo, dedicato ai diversi ordini delle linee algebriche. Precisiamo che l’ordine corrisponde al grado più elevato. Per esempio, l’equazione A + By + Cx + Dy ² + Exy + x² = 0 è di ordine 2: è una conica. Cramer stabilisce, con il suo triangolo analitico (vedi l’articolo « Tracciare una curva algebrica nel 18^º secolo »), che il numero di punti necessari per definire una curva di ordine n è uguale a $$\frac{n(n+3)}{2}\backslash dfrac\{n(n+3)\}\{2\}$$.

Questo risultato si può comprendere intuitivamente grazie al triangolo analitico (vedi l’articolo « Tracciare una curva algebrica nel 18^º secolo »): la prima riga, corrispondente all’ordine 0, contiene una casella, la seconda, corrispondente all’ordine 1, due caselle ecc.

Si hanno dunque 1 + 2 + … + (n + 1) caselle per una curva di ordine n (anche se alcuni coefficienti sono uguali a 0), ossia (n + 1)(n + 2)/2 caselle. Ora, un’equazione può sempre essere divisa per uno dei coefficienti non nulli, rendendolo sistematicamente uguale a 1; ciò significa che il numero di coefficienti sufficiente a definire un’equazione di ordine n è uguale al numero di caselle meno 1: [(n + 1)(n + 2)/2] – 1, cioè n(n + 3)/2.