Il nome di Gabriel Cramer è tuttora associato a un paradosso che riguarda il numero di punti necessari per definire senza ambiguità una curva di dato ordine*: 9 punti scelti a caso definiscono un’unica curva di ordine 3, oppure più curve, se non addirittura un’infinità?
(L’ordine di una curva piana definita da un’equazione cartesiana in due variabili è il valore massimo che può assumere n + m nelle espressioni della forma x ny m *.)
Una sorpresa
Siamo nel 1744; dopo aver dedicato tutto il suo tempo all’insegnamento della matematica all’Accademia di Ginevra e alla pubblicazione delle Œuvres complètes dei fratelli Jean e Jacques Bernoulli (vedi l’articolo « Itinerari di un matematico ginevrino »), Gabriel Cramer riprende la stesura della sua Introduction à l’analyse des lignes courbes algébriques, iniziata nel 1740 (il libro sarà infine pubblicato soltanto nel 1750). In quell’occasione enuncia due risultati che gli paiono evidenti: 1° una curva di ordine n è definita da n × (n + 3) / 2 punti e 2° due curve di ordini m e n si intersecano in mn punti (vedi l’articolo « Un contributo determinante all’algebra »). Così, una retta è definita da 1 × (1 + 3) ⁄ 2 = 2 punti, e due rette si intersecano in genere in 1 × 1 = 1 punto. Una conica (curva algebrica di ordine 2) è determinata da 2 × (2 + 3) ⁄ 2 = 5 punti, e due coniche (per esempio una parabola e un’ellisse) si intersecano in genere in 2 × 2 = 4 punti.
Ma si accorge che questi due risultati sembrano del tutto contraddittori quando, per esempio, m = n = 3 (o più). Ne manifesta la propria sorpresa a Leonhard Eulero (1707-1783) in una lettera datata 30 settembre 1744. Avendo letto in un giornale inglese, dalla penna di un certo Mr. Braikenridge, che una curva di ordine n poteva essere definita da n2 + 1 punti (il che è evidentemente falso), scrive (modernizziamo l’ortografia):
