Le nom de Gabriel Cramer reste aujourd’hui associé à un paradoxe qui porte sur le nombre de points nécessaires pour définir sans ambiguïté une courbe d’ordre donné : 9 points pris au hasard définissent-ils une unique courbe d’ordre 3, ou plusieurs, voire une infinité ?
(L’ordre d'une courbe du plan définie par une équation cartésienne à deux variables est la valeur maximale que peut prendre n + m dans les expressions de la forme x ny m.)
Un étonnement
Nous sommes en 1744 ; après avoir consacré tout son temps à son enseignement de mathématiques à l’Académie de Genève et à l’édition des Œuvres complètes des frères Jean et Jacques Bernoulli (voir l'article « Itinéraires d'un mathématicien genevois »), Gabriel Cramer reprend l’écriture de son Introduction à l’analyse des lignes courbes algébriques, qu’il a débutée en 1740 (le livre ne sera finalement publié qu’en 1750). Ce faisant, il énonce deux résultats qui lui semblent évidents : 1° une courbe d'ordre n est définie par la donnée de n × (n + 3) / 2 points et 2° deux courbes d’ordres m et n se coupent en mn points (voir l'article « Une déterminante contribution à l'algèbre »). Ainsi, une droite est définie par la donnée de 1 × (1 + 3) ⁄ 2 = 2 points, et deux droites se coupent généralement en 1 × 1 = 1 point. Une conique (courbe algébrique d’ordre 2) est déterminée par la donnée de 2 × (2 + 3) ⁄ 2 = 5 points, et deux coniques (une parabole et une ellipse, par exemple) se coupent généralement en 2 × 2 = 4 points.
Mais il s’aperçoit que ces deux résultats semblent tout à fait contradictoires lorsque l’on prend, par exemple, m = n = 3 (ou plus). Il s’en étonne auprès de Leonhard Euler (1707-1783) dans une lettre datée du 30 septembre 1744. Ayant lu dans un journal anglais, sous la plume d’un certain Mr. Braikenridge, qu’une courbe d’ordre n pouvait être définie par la donnée de n2 + 1 points (ce qui est évidemment faux), il écrit (nous modernisons l’orthographe) :
