El pequeño teorema de Fermat afirma que, si p es un número primo (como 2, 3, 5, 7, 11 o 5 273) y a es un número entero no divisible por p, entonces *a p*–1 – 1 es divisible por p. Para valores pequeños de a y de p, el resultado quizá no sea espectacular y el teorema no parezca tan útil. Pero para valores bastante grandes, los cálculos se vuelven enseguida inaccesibles y el teorema puede sacarnos del apuro.
Las demostraciones de este teorema son numerosas y a veces muy originales. Una de las más clásicas consiste en considerar la siguiente lista de múltiplos de a: a, 2a, 3a, 4a… (p – 1) a. Denotemos por r1, r2… *rp*–1 los restos respectivos de la división euclídea de estos números entre p. Ninguno de estos restos es igual a 0, pues ninguno de los múltiplos de a de nuestra lista es divisible por p (véase el recuadro sobre el teorema de Gauss). Además, todos estos restos son distintos. En efecto, supongamos que rk y rk' son iguales, con k ≤ k'. Entonces podemos escribir que k'a – ka, es decir, (k' – k) a, es un múltiplo de p. El mismo argumento que antes implica que p divide k' – k y, como k' – k es un número natural estrictamente menor que p, el único valor posible de esta diferencia es 0. Dicho de otro modo, k = k'.
Los valores que toman estos restos son, por tanto, 1, 2, 3… y p – 1, aunque no necesariamente en ese orden. Basta ahora con observar que el producto a × 2a × 3a × … × (p – 1) a es congruente con 1 × 2 × 3 × … × (p – 1) módulo p. De ello se sigue que *a p*–1 (p – 1)! es congruente con (p – 1)! módulo p. Dicho de otro modo, p divide *a p*–1(p – 1)! – (p – 1)!, pero no divide (p – 1)!. Según el teorema de Gauss, p divide efectivamente *a p*–1 – 1
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Euler entra en escena
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