Il piccolo teorema di Fermat afferma che, se p è un numero primo (come 2, 3, 5, 7, 11 o 5 273) e a è un numero intero non divisibile per p, allora *a p*–1 – 1 è divisibile per p. Per piccoli valori di a e di p, il risultato forse non è spettacolare e il teorema non sembra così utile. Ma per valori abbastanza grandi i calcoli diventano presto inaccessibili, e il teorema può salvarci la situazione.
Le dimostrazioni di questo teorema sono numerose e talvolta molto originali. Una delle più classiche consiste nel considerare il seguente elenco di multipli di a: a, 2a, 3a, 4a… (p – 1) a. Indichiamo con r1, r2… *rp*–1 i rispettivi resti della divisione euclidea di questi numeri per p. Nessuno di questi resti è uguale a 0, poiché nessuno dei multipli di a del nostro elenco è divisibile per p (vedi il riquadro sul teorema di Gauss). Inoltre, questi resti sono tutti diversi. Supponiamo infatti che rk e rk' siano uguali, con k ≤ k'. Possiamo allora scrivere che k'a – ka, ossia (k' – k) a, è un multiplo di p. Lo stesso argomento di prima impone che p divida k' – k e, dato che k' – k è un numero naturale strettamente minore di p, l’unico valore possibile per questa differenza è 0. In altre parole, k = k'.
I valori assunti da questi resti sono dunque 1, 2, 3… e p – 1, ma non necessariamente in quest’ordine. Basta allora osservare che il prodotto a × 2a × 3a × … × (p – 1) a è congruo a 1 × 2 × 3 × … × (p – 1) modulo p. Ne segue che *a p*–1 (p – 1)! è congruo a (p – 1)! modulo p. In altre parole, p divide *a p*–1(p – 1)! – (p – 1)!, ma non (p – 1)!. Per il teorema di Gauss, p divide dunque *a p*–1 – 1
-
Eulero entra in scena
--------------------
