Apparu au début du XXe siècle, le champ mathématique de la combinatoire des mots s’attache à l’étude des suites de symboles appelées des mots sur un alphabet. L’un des articles fondateurs du domaine est celui du mathématicien norvégien Axel Thue (1863-1922) qui décrit la construction d’un mot infini sur deux lettres ne contenant aucun cube, c’est-à-dire sans motif énoncé trois fois consécutivement comme (aba)(aba)(aba). L’informatique théorique et la linguistique mathématique ont considérablement stimulé le développement de ce courant d’idées et les principaux ouvrages de synthèse sur le sujet ont été rédigés par un collectif de chercheurs du nom de Lothaire formé, entre autres, par d’anciens étudiants du mathématicien français Marcel-Paul Schützenberger (1920-1996).
Le concept de mot sur un alphabet abstrait est bien adapté pour décrire la succession d’événements à l’intérieur d’une séquence musicale. Il permet de clarifier et d’énoncer précisément certaines propriétés apparaissant dans la musique. Cela peut s’appliquer aux gammes qui sont des suites de notes obtenues en montant du grave à l’aigu. Cela peut aussi concerner les rythmes qui sont des suites de durées que l’on peut exprimer à partir d’une durée de référence telle que la croche. Par exemple, le rythme 332 correspond à la séquence noire pointée, noire pointée, noire. Enfin, cela peut intervenir en informatique musicale dans des systèmes de génération automatique de musique où la représentation des séquences musicales comme des mots sur un alphabet est adaptée aux traitements computationnels. Lorsque les musiques étudiées appartiennent à des traditions orales éloignées de la tradition occidentale, leur description à l’aide des concepts de la combinatoire des mots relève de l’ethnomathématique. La question de savoir si les modèles mathématiques utilisés pour ces descriptions sont pertinents d’un point de vue autochtone est un enjeu majeur de la réflexion ethnomathématique sur lequel on reviendra plus loin.
Les rythmes asymétriques
On trouve en Afrique un grand nombre de rythmes asymétriques qui donnent l’impression d’être proches d’une suite régulière d’impulsions, mais où certaines durées entre ces impulsions rompent la régularité en créant une asymétrie. C’est le cas du rythme 332 mentionné plus haut où le 2 rompt la régularité des deux 3 consécutifs. La combinatoire des mots dispose d’un concept puissant décrivant un phénomène similaire, le concept de mot de Christoffel. Il tire son origine de la représentation de la droite sous forme d’une suite de pixels, c’est-à-dire un escalier constitué de mouvements élémentaires horizontaux et verticaux qui s’approche le plus près possible de la régularité de la ligne droite (voir ci-dessous).
