connexité - topologie -

Imaginez le segment de droite allant de 0 à 3. Il forme un seul morceau : entre deux de ses points, aucun trou ne coupe le segment. Retirons maintenant tous les nombres strictement compris entre 1 et 2. Il reste deux morceaux, [0, 1] et [2, 3].

La connexité traduit cette différence avec les ouverts de l'espace étudié. Un espace est connexe lorsqu'il est impossible de le partager en deux ouverts non vides, disjoints et couvrant tout l'espace.

Soit X un ensemble muni d'une topologie O, c'est-à-dire d'une famille d'ouverts. Une séparation de X serait donnée par deux ouverts U et V de X, tous deux non vides, qui ne se rencontrent pas et recouvrent X. Les deux relations s'écrivent :

L'espace X est connexe précisément lorsqu'une telle séparation n'existe pas. De façon équivalente, une décomposition de X en deux fermés disjoints force l'un des deux à être vide. Les seuls sous-ensembles simultanément ouverts et fermés sont alors ∅ et X. Une autre formulation équivalente affirme que toute application continue de X vers l'espace discret {0, 1} est constante. Dans ℝ muni de sa topologie usuelle, chaque intervalle est connexe. Si X ne l'est pas, ses composantes connexes sont ses sous-espaces connexes maximaux : chacune est connexe et ne peut être agrandie dans X tout en conservant cette propriété.

Considérons le sous-espace X = [0, 1] ∪ [2, 3] de la droite réelle. Posons U = [0, 1] et V = [2, 3], avec la topologie induite sur X.

1. Les ensembles U et V sont non vides, disjoints et leur réunion vaut X.

2. Dans X, l'ensemble U est ouvert car U = X ∩ (−1/2, 3/2). De même, V est ouvert car V = X ∩ (3/2, 7/2).

3. U et V forment donc une séparation de X. Le verdict est vérifiable : X n'est pas connexe. Comme les deux intervalles U et V sont connexes et maximaux dans X, ce sont exactement les deux composantes connexes de X.

Le schéma représente les deux intervalles à la même échelle. Le vide entre 1 et 2 rend visible la séparation que les ouverts relatifs U et V certifient.

Pour reconnaître immédiatement un sous-ensemble de ℝ, on regarde d'abord s'il s'agit d'un intervalle. Dans la topologie usuelle, un intervalle est connexe ; une réunion séparée par un trou demande au contraire de rechercher deux ouverts relatifs disjoints.

Pour prouver qu'un espace est non connexe, on peut exhiber une séparation. Dans X = [0, 1] ∪ [2, 3], les ensembles [0, 1] et [2, 3] fournissent directement les deux ouverts nécessaires.

Quand une séparation est difficile à construire, on peut chercher une application continue vers {0, 1} muni de la topologie discrète. Si elle prend réellement les deux valeurs, l'espace n'est pas connexe ; si l'espace est connexe, toute application de ce type doit rester constante.

Enfin, pour organiser un espace non connexe, on regroupe ses points en sous-espaces connexes maximaux. On obtient ses composantes connexes, comme les deux intervalles de l'exemple.

La connexité ne doit pas être confondue avec la connexité par arcs. La première interdit une séparation en deux ouverts non vides. La seconde demande en plus qu'un chemin continu relie toute paire de points. Pour trancher, il faut donc vérifier si la question porte seulement sur une séparation ou sur l'existence de chemins.

La connexité topologique ne se confond pas non plus avec la connexité d'un graphe. Dans un graphe, le critère porte sur des chaînes d'arêtes entre sommets ; en topologie, il porte sur les ouverts de l'espace. Un dessin ressemblant à plusieurs morceaux ne suffit donc pas : il faut utiliser la structure donnée.

Un sous-ensemble peut sembler formé d'un seul morceau sans que le dessin constitue une preuve. Le symptôme est une conclusion tirée de l'apparence seule. Il faut revenir aux ouverts de la topologie considérée et chercher, ou exclure, une séparation.

Les mots « ouvert » et « fermé » sont relatifs à l'espace ambiant. Dans X = [0, 1] ∪ [2, 3], l'ensemble [0, 1] n'est pas ouvert dans ℝ, mais il est ouvert dans X. Il faut donc préciser la topologie avant d'appliquer le critère.

Une séparation exige deux ensembles non vides. La décomposition X = X ∪ ∅ ne prouve jamais que X est non connexe, même si les deux ensembles sont disjoints et ouverts.

Une composante connexe est maximale parmi les sous-espaces connexes, et non simplement un sous-espace connexe choisi au hasard. Dans l'exemple, [0, 1/2] est connexe mais n'est pas une composante de X, car il s'agrandit en [0, 1] tout en restant connexe.

La notion se spécialise naturellement aux espaces métriques, où une distance accompagne la topologie. La fiche espace métrique connexe permet de replacer la connexité dans ce cadre particulier.