fermé - topologie -

Sur une droite graduée, le segment [0, 1] garde ses deux extrémités : 0 et 1 lui appartiennent. Tout point situé hors du segment possède autour de lui un petit intervalle qui ne touche pas [0, 1]. Cette zone extérieure est donc ouverte.

C'est cette propriété du dehors qui rend [0, 1] fermé dans ℝ. Le mot « fermé » ne décrit pas une porte ni une forme pleine. Il indique que le complémentaire est ouvert et, dans ce cadre, que les points limites ne s'échappent pas de l'ensemble.

Soit E un espace topologique et soit F une partie de E. On dit que F est fermée dans E lorsque son complémentaire, formé des points de E qui ne sont pas dans F, est ouvert : $F\text{ ferm}\acute{\text{e}}\text{ dans }E⟺E\setminus F\text{ ouvert dans }EF\backslash text\{\; fermé\; dans\; \}E\; \backslash Longleftrightarrow\; E\; \backslash setminus\; F\backslash text\{\; ouvert\; dans\; \}E$. Le caractère fermé dépend donc à la fois de la partie F et de l'espace ambiant E.

L'ensemble vide et E sont toujours fermés. Toute intersection, même infinie, de parties fermées est fermée. Une réunion finie de parties fermées est fermée, tandis qu'une réunion infinie ne l'est pas nécessairement. Ces propriétés sont exactement les propriétés duales de celles des ouverts.

Une partie est fermée si et seulement si elle contient tous ses points d'adhérence. Dans un espace métrique, cela revient à dire que toute suite de points de F qui converge dans E a sa limite dans F. Dans un espace topologique général, les suites seules peuvent manquer certains points d'adhérence ; le critère exact utilise alors les voisinages, ou de façon équivalente les filtres ou les filets convergents.

On travaille dans la droite réelle ℝ avec sa topologie usuelle.
Données : l'espace ambiant est ℝ ; la partie étudiée est F = [0, 1] ; ses extrémités 0 et 1 appartiennent à F.

1. Le complémentaire de F dans ℝ est $\mathbb{R}\setminus [0,1]=]-\mathrm{\infty },0[\cup ]1,+\mathrm{\infty }[\backslash mathbb\{R\}\; \backslash setminus\; [0,1]=]-\backslash infty,0[\backslash ,\backslash cup\backslash ,]1,+\backslash infty[$.

2. Chaque point strictement inférieur à 0 possède un petit intervalle entièrement contenu dans ]−∞, 0[. Le même raisonnement vaut pour chaque point strictement supérieur à 1.

3. Les deux intervalles ]−∞, 0[ et ]1, +∞[ sont ouverts dans ℝ. Leur réunion est donc ouverte.

4. Puisque ℝ ∖ F est ouvert, F = [0, 1] est fermé dans ℝ.

Le contrôle par les suites donne le même verdict : une suite de nombres de [0, 1] qui converge dans ℝ ne peut avoir une limite inférieure à 0 ni supérieure à 1. Sa limite appartient donc encore à [0, 1].

Pour prouver qu'une partie est fermée, on peut étudier son extérieur. Si le complémentaire se décompose naturellement en ouverts, cette voie est souvent la plus directe ; pour [0, 1], on obtient les deux intervalles ouverts ]−∞, 0[ et ]1, +∞[.

Dans un espace métrique, on peut aussi prendre une suite quelconque de points de la partie et examiner sa limite. Ce critère est préférable lorsque la partie est décrite par des approximations successives. Il faut toutefois vérifier que toute limite existant dans l'espace ambiant reste dans la partie.

Pour repérer rapidement une partie qui n'est pas fermée dans ℝ, on cherche un bord absent. Ainsi, les nombres de ]0, 1] peuvent tendre vers 0 sans jamais l'atteindre. La limite 0 manque à la partie, ce qui suffit à conclure qu'elle n'est pas fermée.

Fermé et ouvert. Ces mots ne sont pas des contraires exclusifs en topologie. On teste le complémentaire pour « fermé » et les voisinages des points pour « ouvert ». Dans tout espace topologique, ∅ et l'espace entier sont à la fois ouverts et fermés.

Fermé et borné. Être fermé concerne les points d'adhérence ; être borné concerne l'étendue dans un espace métrique. Dans ℝ, [0, +∞[ est fermé mais non borné, tandis que ]0, 1[ est borné mais non fermé.

Une partie et son adhérence. L'adhérence d'une partie A est la plus petite partie fermée qui contient A. Par exemple, l'adhérence de ]0, 1[ dans ℝ est [0, 1]. La partie A est fermée exactement lorsqu'elle coïncide avec son adhérence.

Les suites ne suffisent pas toujours. Dans un espace métrique, conserver la limite de toute suite convergente caractérise bien les fermés. Dans un espace topologique quelconque, ce test peut déclarer à tort une partie fermée. Il faut alors revenir aux points d'adhérence et aux voisinages, ou employer des filtres ou des filets.

Une réunion infinie peut perdre un point limite. Dans ℝ, chaque intervalle [1/n, 1], où n est un entier au moins égal à 1, est fermé. Leur réunion est ]0, 1], qui ne contient pas 0 et n'est pas fermée. La stabilité par réunion ne vaut donc que pour un nombre fini de fermés.

L'espace ambiant change le verdict. La partie [0, 1[ n'est pas fermée dans ℝ, car 1 est un point d'adhérence absent. Elle est pourtant fermée dans l'espace [0, 1[ muni de la topologie induite, puisqu'elle y est l'espace entier. Il faut toujours nommer l'espace de référence.

« Contenir son bord » n'est qu'un repère intuitif. Sur la droite réelle, une extrémité manquante révèle souvent le problème. Dans un espace topologique général, le dessin d'un bord ne constitue pas un test. Le critère fiable reste que le complémentaire soit ouvert, ou que tous les points d'adhérence soient inclus.

ouvert - topologie - — Pour approfondir la notion duale qui définit un fermé par passage au complémentaire.

adhérence - topologie - — Pour étudier l'ensemble des points qu'une partie doit contenir afin d'être fermée.