fonction de Brillouin

Imaginez que l'on fasse varier un curseur x lié au champ magnétique et à la température d'un solide paramagnétique. La fonction de Brillouin transforme cette valeur en une réponse d'aimantation. Près de zéro, la réponse part de zéro ; lorsque x devient très grand en valeur absolue, elle se rapproche d'un plateau.

La forme précise de la courbe dépend du moment cinétique total J. Dans le cas J = 1/2, le calcul se simplifie complètement : la courbe est celle de la tangente hyperbolique.

La fonction de Brillouin d'ordre J s'applique au paramagnétisme quantique. Le paramètre J est un demi-entier positif qui représente le moment cinétique total, et x est l'argument réel dans lequel interviennent le champ magnétique et la température. La notation coth désigne la cotangente hyperbolique.

Les deux termes pris séparément ne sont pas définis en x = 0, mais leurs singularités se compensent : la fonction se prolonge par B_J(0) = 0. Elle est impaire et tend vers 1 quand x tend vers +∞, vers −1 quand x tend vers −∞. Pour J = 1/2, B_1/2(x) = tanh(x). Lorsque J tend vers l'infini, on obtient la fonction de Langevin, qui correspond à la limite classique mentionnée dans la définition source.

Quatre éléments font fonctionner B_J(x). Le paramètre J fixe l'ordre de la fonction et intervient dans tous les coefficients. L'argument réel x porte la variation liée au champ magnétique et à la température. Deux cotangentes hyperboliques évaluent ensuite des multiples différents de x. Enfin, leur différence pondérée produit la valeur de la fonction. Les deux termes dépendent donc à la fois de J et de x, et leur soustraction est essentielle : elle annule la singularité apparente en zéro. Ces données suffisent à calculer un point de la courbe pour un ordre donné. Elles définissent la fonction elle-même ; la couleur, l'échelle ou le tracé choisis pour la représenter n'en font pas partie.

Prenons l'ordre J = 1/2 et l'argument x = ln(3)/2. Les données sont donc 2J = 1, 2J + 1 = 2 et exp(2x) = 3. Le but est de calculer exactement B_1/2(x).

1. En remplaçant J, la formule devient $B_{1\mathrm{/}2}(x)=2\coth (2x)-\coth (x)B\_\{1/2\}(x)=2\backslash operatorname\{coth\}(2x)-\backslash operatorname\{coth\}(x)$.
2. L'identité entre fonctions hyperboliques donne exactement B_1/2(x) = tanh(x).
3. Comme exp(2x) = 3, on obtient $\tanh (x)=\frac{3-1}{3+1}=\frac{1}{2}\backslash tanh(x)=\backslash frac\{3-1\}\{3+1\}=\backslash frac12$.
4. Le résultat est donc B_1/2(ln(3)/2) = 1/2, sans arrondi.

Un contrôle repart de la formule initiale : coth(2x) = 5/4 et coth(x) = 2, donc 2 × 5/4 − 2 = 1/2. La courbe calculée point par point permet aussi de vérifier les passages par (0, 0) et par (ln(3)/2, 1/2).

Pour modéliser l'aimantation d'un paramagnétique quantique de moment cinétique total fini, on choisit l'ordre J correspondant puis on évalue B_J. La fonction de Langevin devient l'alternative appropriée dans la limite classique J → ∞.

Lorsque J = 1/2, remplacer directement la combinaison de cotangentes par tanh évite un calcul inutile. Le critère est exact : cette simplification dépend de la valeur de J, pas d'une approximation numérique.

Au voisinage de x = 0, l'expression avec deux coth affiche deux termes singuliers alors que leur différence reste finie. Il faut utiliser le prolongement B_J(0) = 0, ou une forme développée adaptée, plutôt que d'évaluer séparément les deux cotangentes en zéro.

La cotangente hyperbolique coth et la tangente hyperbolique tanh ne sont pas deux noms pour la même fonction. Là où les deux expressions sont définies, elles sont réciproques au sens multiplicatif : coth(x) = 1/tanh(x) ; ce ne sont pas des fonctions inverses. Dans la fonction de Brillouin, coth intervient dans chacun des deux termes ; c'est seulement leur combinaison complète pour J = 1/2 qui se réduit à tanh(x). Par exemple, avec x = ln(3)/2, coth(x) = 2 tandis que B_1/2(x) = tanh(x) = 1/2.

En x = 0. Chaque coth de la formule paraît diverger, mais les termes dominants s'annulent. Le symptôme trompeur est une soustraction de deux valeurs infinies ; il faut employer le prolongement continu B_J(0) = 0.

Pour J = 1/2. Ce cas charnière donne exactement B_1/2(x) = tanh(x). Il ne faut pas appliquer cette égalité à un autre ordre : on revient alors à la formule complète de Brillouin.

Quand J → ∞. La fonction tend vers la fonction de Langevin. Une grande valeur finie de J n'est toutefois pas l'infini : si une valeur exacte est requise, il faut conserver B_J et annoncer toute approximation.

Quand |x| devient grand. La courbe approche les plateaux +1 ou −1 sans les atteindre pour un argument réel fini. Lire exactement 1 sur un tracé traduit donc une précision graphique ; le calcul doit conserver une valeur approchée.

Le comportement près de l'origine se lit par un développement limité : $B_J(x)=\frac{J+1}{3J}x+O(x^3)B\_J(x)=\backslash frac\{J+1\}\{3J\}x+O(x^3)$. La pente initiale dépend donc de J, même si toutes les courbes passent par l'origine et tendent vers les mêmes plateaux ±1. Cette comparaison relie trois échelles de lecture : la réponse presque linéaire pour un petit argument, la courbure intermédiaire et la saturation pour un grand argument. L'imparité B_J(−x) = −B_J(x) permet enfin de déduire toute la moitié négative de la courbe à partir de la moitié positive.