formule de Thomson
Formule de l'électronique et de la physique des circuits qui donne la fréquence propre de résonance d'un circuit oscillant idéal. Un tel circuit est constitué d'un condensateur de capacité C, exprimée en farads, et d'une bobine d'inductance L, exprimée en henrys. La fréquence propre de résonance f0, exprimée en hertz, est donnée par : f0 = 1 / (2π √(LC)). À cette fréquence, les effets de la capacité et de l'inductance se compensent mutuellement, et le circuit entre en résonance électrique. Cette relation est l'analogue électrique de la fréquence propre d'un oscillateur mécanique masse-ressort.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier l’inductance et la capacité à la fréquence propre d’un circuit LC idéal.
- Calculer une fréquence de résonance à partir de valeurs converties en henrys et en farads.
- Distinguer fréquence, pulsation, résonance et limites du modèle idéal.
En clair
Reliez une bobine et un condensateur : ce duo possède un rythme d’oscillation qui lui est propre. La formule de Thomson donne ce rythme à partir de deux caractéristiques mesurables, l’inductance de la bobine et la capacité du condensateur.
À capacité constante, augmenter l’inductance ralentit l’oscillation, tandis que la diminuer l’accélère. À inductance constante, augmenter la capacité ralentit aussi l’oscillation, tandis que la diminuer l’accélère. À la fréquence calculée, les effets des deux composants se compensent : le circuit LC idéal résonne, comme une masse attachée à un ressort possède sa propre cadence.
Définition
La formule de Thomson relie les deux paramètres d’un circuit oscillant LC idéal à sa fréquence propre de résonance. La capacité C du condensateur se mesure en farads (F), tandis que l’inductance L de la bobine se mesure en henrys (H). La fréquence propre f0, exprimée en hertz (Hz), vaut .
Le produit LC se trouve sous une racine carrée. Ainsi, multiplier L ou C par quatre divise f0 par deux. La pulsation propre ω0, exprimée en radians par seconde, est une écriture voisine : . Le facteur 2π est donc indispensable pour passer de la pulsation à la fréquence en hertz.
Cette relation décrit le modèle idéal formé uniquement par la bobine et le condensateur. À la fréquence propre, leurs effets se compensent et le circuit entre en résonance électrique. Le rôle de L correspond, dans l’analogie mécanique, à celui de la masse ; celui de C rappelle la souplesse associée au ressort, sans rendre les grandeurs interchangeables.
Le principe
Pour un circuit oscillant idéal constitué d’une inductance L en henrys et d’une capacité C en farads, toutes deux strictement positives, la fréquence propre f0 en hertz est :
On multiplie L par C, on prend la racine carrée, puis on multiplie par 2π et on inverse. Le résultat est la fréquence à laquelle les effets inductif et capacitif se compensent dans ce modèle.
Quand l'utiliser
La relation s’applique à un circuit oscillant LC idéal : le modèle retient une bobine d’inductance L et un condensateur de capacité C. Les deux valeurs doivent être strictement positives. Elles doivent aussi être exprimées en henrys et en farads pour obtenir directement une fréquence en hertz.
Le calcul fournit la fréquence propre du circuit. Il suppose que les caractéristiques L et C sont celles du circuit considéré et que les autres effets sont négligés. Avant tout calcul, les millihenrys et les nanofarads doivent donc être convertis dans les unités de base.
Si le circuit réel ne peut pas être assimilé à ce duo idéal, la formule seule ne décrit pas tout son comportement. Le constat est alors un écart entre le modèle et la résonance observée ; il faut employer un modèle intégrant les composants et effets effectivement présents.
Un exemple, pas à pas
Considérons un circuit LC idéal. La bobine a une inductance L = 10 mH et le condensateur une capacité C = 100 nF. On cherche sa fréquence propre f0.
1. Convertissons les données : L = 10 × 10−3 H et C = 100 × 10−9 F.
2. Leur produit vaut LC = 1,00 × 10−9 s2.
3. Sa racine carrée vaut √(LC) ≈ 3,162 × 10−5 s.
4. Appliquons la formule : .
2. Leur produit vaut LC = 1,00 × 10−9 s2.
3. Sa racine carrée vaut √(LC) ≈ 3,162 × 10−5 s.
4. Appliquons la formule : .
La fréquence propre est donc d’environ 5,03 kHz. Un contrôle consiste à calculer la période correspondante : 1 ÷ 5 032,9 ≈ 1,987 × 10−4 s, soit 198,7 μs. Cette valeur coïncide avec 2π√(LC), le dénominateur de la formule. Le schéma associe ces données au circuit idéal et au résultat obtenu.
En pratique
Lorsque L et C sont connus, la formule donne directement la fréquence propre du circuit idéal. Dans l’exemple, 10 mH et 100 nF conduisent à environ 5,03 kHz.
Pour viser une fréquence donnée avec une bobine déjà choisie, on peut isoler la capacité : . Avec f0 ≈ 5,03 kHz et L = 10 mH, on retrouve C ≈ 100 nF.
Si l’on cherche le comportement d’un montage non idéal plutôt que sa référence LC, le critère observable est l’écart entre la valeur calculée et la réponse du circuit. Cet écart invite à compléter le modèle au lieu de modifier arbitrairement la formule de Thomson.
À ne pas confondre
Fréquence et pulsation. La fréquence f0 se mesure en hertz, tandis que la pulsation ω0 se mesure en radians par seconde. Le test est le facteur 2π : ω0 = 2πf0. Sans ce facteur, 1/√(LC) donne ici ω0 ≈ 31 623 rad/s, et non f0 ≈ 5 033 Hz.
Fréquence propre et résonance. La première est une valeur caractéristique calculée à partir de L et C ; la seconde désigne le comportement du circuit à cette fréquence. Dans l’exemple, 5,03 kHz est la fréquence propre, pas un composant supplémentaire.
Circuit LC et oscillateur masse-ressort. Ils obéissent à des relations analogues, mais leurs grandeurs restent différentes. Une inductance en henrys ne se remplace pas numériquement par une masse en kilogrammes.
Limites et pièges
Valeur nulle. Si L = 0 ou C = 0, le dénominateur s’annule et la formule ne fournit aucune fréquence finie. Le duo oscillant décrit par le modèle LC n’est alors plus constitué ; il ne faut pas interpréter le calcul comme une résonance infinie.
Unités non converties. Introduire 10 et 100 comme si les millihenrys et les nanofarads étaient des unités de base fausse le résultat. Il faut employer 10 × 10−3 H et 100 × 10−9 F avant de multiplier.
Dépendance sous la racine. Doubler L ne divise pas la fréquence par deux, mais par √2. Le symptôme du piège est une règle de proportion directe ; il faut repartir du produit LC sous la racine carrée.
Circuit réel. La formule source concerne un circuit idéal. Si d’autres effets sont assez importants pour que la réponse observée s’écarte de 5,03 kHz dans le cas conducteur, cette valeur reste la référence LC ; l’analyse du montage exige alors un modèle plus complet.
Pour aller plus loin
Pour approfondir, on peut relier la formule de Thomson aux régimes transitoires d'un circuit : la pulsation propre décrit l'oscillation idéale, tandis que la résistance et les pertes expliquent l'amortissement observé dans un montage réel.
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