AnalyseNotion · Glossaire
Proximinal
Un sous-ensemble A d'un espace normé est dit proximinal si tout point de l'espace admet au moins un plus proche voisin dans A, c'est-à-dire si la distance d'un point quelconque à A est atteinte en un point de A. Tout convexe fermé non vide d'un espace de Hilbert est proximinal et même Chebyshev (le plus proche voisin est unique). La proximinalité est un concept important en théorie de l'approximation et en analyse fonctionnelle.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Définir la proximinalité par l’atteinte de la distance à un ensemble.
- Vérifier le plus proche voisin sur un exemple calculé dans ℝ².
- Distinguer ensemble proximinal, ensemble de Chebyshev et projection orthogonale.
- Reconnaître les échecs dus à l’ensemble vide, à la non-fermeture ou à la non-unicité.
En clair
Imaginez un point placé au-dessus d’une ligne. En abaissant une perpendiculaire, on trouve sur cette ligne un point réellement le plus proche. La ligne est proximinale parce que cette recherche réussit pour tout point de l’espace : la plus petite distance n’est pas seulement approchée, elle est atteinte.
Le mot garantit l’existence d’au moins un meilleur choix. Il ne garantit pas toujours que ce choix soit unique.
Définition
Soit A un sous-ensemble non vide d’un espace normé, et soit x un point de cet espace. La distance de x à A est la borne inférieure des distances entre x et les points de A : . L’ensemble A est proximinal lorsque, pour chaque x, il existe au moins un point a de A tel que . Autrement dit, l’infimum est toujours atteint.
Dans un espace de Hilbert, tout sous-ensemble convexe, fermé et non vide est proximinal. Il est même dit de Chebyshev : le point le plus proche existe et il est unique. Ce point est alors la projection de x sur A. La proximinalité seule affirme l’existence ; plusieurs points de A peuvent réaliser la même distance minimale.
Un exemple, pas à pas
Dans le plan euclidien ℝ², prenons pour ensemble A l’axe horizontal. Le point étudié est x = (3, 4). Un point quelconque de A s’écrit b = (t, 0), où t est un nombre réel. Le candidat situé à la verticale de x est a = (3, 0).
1. Calculons la distance entre x et a.
2. Pour tout autre point b = (t, 0), comparons les distances.
3. L’égalité exige t = 3. La distance minimale vaut donc exactement 4 et elle est atteinte uniquement en a. Pour refaire le contrôle, choisissez b = (6, 0) : sa distance à x vaut 5, donc elle est bien supérieure à 4. L’axe A est ainsi proximinal, et cet exemple montre aussi l’unicité attendue pour un convexe fermé du plan euclidien.
En pratique
En théorie de l’approximation, on cherche dans un ensemble A un élément qui approche au mieux un point x. Si A est proximinal, un meilleur approximant existe réellement ; sinon, on peut seulement disposer d’une suite d’approximations de plus en plus proches.
Dans un espace de Hilbert, la projection sur un convexe fermé non vide fournit ce meilleur approximant et garantit son unicité. Si l’ensemble n’est pas convexe, il faut contrôler séparément l’existence et le nombre de points les plus proches.
Le bon réflexe consiste donc à distinguer deux questions : la distance minimale est-elle atteinte, puis le point qui l’atteint est-il unique ? La première relève de la proximinalité ; la seconde demande une propriété supplémentaire.
À ne pas confondre
Ensemble proximinal et ensemble de Chebyshev. Un ensemble proximinal fournit au moins un point le plus proche ; un ensemble de Chebyshev en fournit exactement un. Les deux points (−1, 0) et (1, 0) forment un ensemble proximinal du plan, mais l’origine possède deux plus proches voisins : cet ensemble n’est pas de Chebyshev.
Proximinalité et projection orthogonale. La proximinalité est une propriété d’un ensemble dans un espace normé. La projection orthogonale est le point, ou l’opération, obtenu dans le cadre hilbertien approprié. Sur l’axe horizontal, le point (3, 4) se projette en (3, 0) ; cette construction illustre la propriété sans la définir dans tous les espaces normés.
Limites et pièges
Ensemble vide. Aucun point ne peut y être choisi comme plus proche voisin. La conclusion concernant les convexes fermés d’un espace de Hilbert suppose donc que l’ensemble soit non vide.
Distance approchée, mais jamais atteinte. Dans ℝ², prenez A = {(t, 0) : t > 0} et x = (0, 1). Les distances peuvent se rapprocher autant que voulu de 1, mais aucun point de A n’est à distance 1. Cet ensemble non fermé n’est pas proximinal. Dans ℝ² euclidien, tout ensemble fermé non vide contient un minimiseur pour chaque point ; dans un espace normé général, la fermeture seule ne suffit pas.
Existence sans unicité. Un ensemble non convexe peut avoir plusieurs meilleurs points. Pour A = {(−1, 0), (1, 0)}, l’origine est à distance 1 de chacun des deux éléments. Il faut alors conserver l’ensemble des minimiseurs au lieu de parler d’un unique projeté.
Pour aller plus loin
Norme — Pour préciser la mesure de l’écart qui définit la distance à un ensemble.
Espace de Hilbert — Pour situer le cadre où les convexes fermés non vides possèdent un unique plus proche voisin.
Projection — Pour prolonger l’exemple du point envoyé sur l’axe horizontal.
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