nombre parfait

Prenez 28 et cherchez les nombres qui le partagent sans reste, en laissant 28 de côté. Vous obtenez 1, 2, 4, 7 et 14. Leur somme redonne exactement 28. Cette coïncidence est la marque d’un nombre parfait.

Le mot « parfait » ne signifie donc ni « sans défaut » ni « carré ». Il décrit un équilibre arithmétique précis entre un entier et ses diviseurs propres.

Un nombre parfait est un entier positif égal à la somme de ses diviseurs positifs autres que lui-même, appelés diviseurs propres. Ainsi, 28 est parfait parce que ses diviseurs propres sont 1, 2, 4, 7 et 14, et que leur somme vaut 28.

La construction d’Euclide part d’un entier premier noté p. Si 2^p − 1 est premier, alors le nombre suivant est parfait : $2^{p-1}(2^p-1)2^\{p-1\}(2^p-1)$. Le facteur 2^p − 1 est un nombre de Mersenne premier. Euler a prouvé que cette formule donne tous les nombres parfaits pairs. On ne sait toujours pas s’il existe un nombre parfait impair, ni si l’ensemble des nombres parfaits est fini ou infini.

Pythagore, Euclide et Nicomaque les étudiaient déjà dans l’Antiquité ; Euler a prolongé cette histoire. Douze étaient connus avant l’informatique. En 2008, on en recensait 46, et le 44^e comptait 19 616 714 chiffres. Tous les nombres parfaits pairs sont aussi triangulaires et hexagonaux. À partir de 28, chacun s’écrit comme une somme de cubes d’entiers impairs consécutifs ; 6 est l’exception.

Vérifions si 28 est parfait. Les données sont l’entier 28 et les paires de facteurs positifs 1 × 28, 2 × 14 et 4 × 7. Elles suffisent à retrouver tous ses diviseurs sans en oublier.

1. Relevez dans ces paires les diviseurs positifs de 28 : 1, 2, 4, 7, 14 et 28.

2. Retirez 28 lui-même. Les diviseurs propres restants sont 1, 2, 4, 7 et 14.

3. Additionnez-les : $1+2+4+7+14=281+2+4+7+14=28$.

4. Comparez la somme au nombre testé. Comme elle vaut exactement 28, le résultat est : 28 est un nombre parfait.

Le contrôle est refaisable avec la formule d’Euclide. Pour l’entier premier p = 3, le nombre 2³ − 1 vaut 7 et il est premier ; puis 2² × 7 vaut bien 28.

Pour tester un petit entier, dressez ses paires de facteurs, retirez l’entier lui-même, puis additionnez les diviseurs propres. Le test direct convient quand la factorisation reste courte, comme pour 28.

Pour construire un nombre parfait pair, cherchez plutôt un exposant premier p tel que 2^p − 1 soit premier, puis appliquez la formule d’Euclide. Cette voie évite d’essayer au hasard tous les entiers.

Pour reconnaître la structure du résultat, la somme des diviseurs donne le verdict définitionnel. Les formes triangulaire, hexagonale, cubique ou binaire servent ensuite de propriétés de contrôle, pas de définition.

Un carré parfait est le carré d’un entier, tandis qu’un nombre parfait égale la somme de ses diviseurs propres. Ainsi, 36 = 6² est un carré parfait, mais ses diviseurs propres totalisent 55 : il n’est pas parfait.

Un nombre de Mersenne a la forme 2^p − 1, où p est un entier positif. Quand cette valeur est première, p est nécessairement premier et elle entre dans la construction d’un nombre parfait pair, mais elle n’est pas elle-même le nombre parfait : 7 conduit à 28.

L’exposant premier ne suffit pas. Pour p = 11, le nombre 2¹¹ − 1 vaut 2047 = 23 × 89. Comme il n’est pas premier, la formule d’Euclide ne produit pas ici un nombre parfait. Il faut tester la primalité du nombre de Mersenne.

Le cas impair reste ouvert. La classification d’Euclide et Euler concerne tous les nombres parfaits pairs, sans prouver qu’aucun nombre parfait impair n’existe. Il ne faut donc pas transformer l’absence d’exemple connu en impossibilité.

La quantité totale reste inconnue. Une liste de nombres parfaits connus ne permet pas de conclure que la suite s’arrête. On ignore si ces nombres sont en quantité finie ou infinie.

Deux formulations demandent une précision. La somme itérée des chiffres vaut 1 pour les nombres parfaits pairs autres que 6 ; pour 6, elle reste 6. Si l’on pose n = p − 1, l’écriture binaire de 2^p−1(2^p − 1) comporte n + 1 chiffres 1 suivis de n chiffres 0.

Le nombre de Mersenne explique le facteur premier qui commande la construction d’Euclide.

Le nombre triangulaire éclaire une autre forme que possède tout nombre parfait pair.

Le nombre premier précise les deux tests de primalité qui interviennent dans la formule d’Euclide.