nombre transcendant

Prenez √2. Dans le polynôme dont l’inconnue est x, l’expression x² − 2 s’annule lorsque x vaut √2. Ce nombre est donc irrationnel, mais encore algébrique. Les nombres e et π franchissent une frontière supplémentaire : aucun polynôme non nul à coefficients rationnels ne les annule. On les dit transcendants. La différence ne tient donc pas seulement à l’impossibilité d’écrire une fraction, mais à l’absence de toute équation polynomiale rationnelle satisfaite par le nombre.

Soit z un nombre réel ou complexe, et notons P un polynôme non nul à coefficients rationnels. Le nombre z est transcendant lorsque, pour tout choix de P, la condition $P(z)\mathrm{\ne }0P(z)\backslash ne\; 0$ est satisfaite. Demander des coefficients entiers revient au même, car les dénominateurs d’un polynôme rationnel peuvent être éliminés en multipliant tous ses coefficients par un entier commun.

Tout nombre transcendant réel est irrationnel. La réciproque est fausse : √2 est irrationnel, mais algébrique puisqu’il est racine du polynôme d’inconnue x donné par x² − 2. Cantor a établi que l’ensemble des nombres transcendants est non dénombrable. Cette abondance ne rend pas simple la preuve qu’un nombre particulier est transcendant.

Leibniz a employé le terme « transcendant » en 1682 à propos de courbes, tandis que Liouville a construit un premier exemple explicite de nombre transcendant en 1844. Après les conjectures de Lambert, Hermite a démontré la transcendance de e en 1873 et Lindemann celle de π en 1882. Les théorèmes d’Hermite-Lindemann, de Lindemann-Weierstrass et de Gelfond-Schneider prolongent ces résultats.

On cherche à déterminer la nature du nombre 2^√2 à l’aide du théorème de Gelfond-Schneider.

Données.
La base a vaut 2.
L’exposant b vaut √2.
Le théorème exige une base algébrique, non nulle et différente de 1, ainsi qu’un exposant algébrique irrationnel.

1. Vérification de la base. Le nombre 2 est algébrique, car il annule le polynôme d’inconnue x donné par x − 2. Il est non nul et différent de 1.

2. Vérification de l’exposant. Le nombre √2 est algébrique, car il annule x² − 2, et il est irrationnel.

3. Application. Toutes les hypothèses sont réunies simultanément. Leur enchaînement vers la conclusion est synthétisé par un schéma logique.

4. Conclusion. Le théorème donne $2^{\sqrt{2}}2^\{\backslash sqrt\; 2\}$, qui est transcendant. Le contrôle consiste à reprendre les deux listes d’hypothèses : aucune ne repose sur la transcendance de √2, qui est au contraire algébrique.

Pour classer un nombre donné par une équation polynomiale explicite, on commence par vérifier que ce polynôme est non nul, à coefficients rationnels, puis que le nombre l’annule bien. Si c’est le cas, le nombre est algébrique ; chercher une preuve de transcendance serait alors une mauvaise piste.

Notons a la base et b l’exposant d’une puissance a^b. Dans le cadre complexe, le théorème de Gelfond-Schneider affirme que toute valeur de cette puissance est transcendante lorsque a est algébrique, non nul et différent de 1, et lorsque b est algébrique irrationnel. Si une condition manque, ce théorème ne permet pas de conclure.

Dans l’histoire de la quadrature du cercle, le point décisif est la transcendance de π démontrée par Lindemann en 1882. Une simple preuve de l’irrationalité de π ne fournit pas la même conclusion : il faut repérer quelle propriété exacte porte l’argument.

Nombre irrationnel. Un réel irrationnel n’est égal à aucune fraction d’entiers. Un réel transcendant satisfait une condition plus forte : il n’est racine d’aucun polynôme non nul à coefficients rationnels. √2 tranche la confusion, car il est irrationnel mais algébrique, tandis que e et π sont transcendants.

Nombre algébrique. Il suffit qu’un nombre annule un seul polynôme non nul à coefficients rationnels pour qu’il soit algébrique. La transcendance exige au contraire l’absence de toute relation de ce type. Le polynôme d’inconnue x donné par x² − 2 classe immédiatement √2 du côté algébrique.

Une recherche infructueuse n’est pas une preuve. Ne trouver aucun polynôme de petit degré qui s’annule ne suffit pas. Le critère porte sur tous les polynômes non nuls à coefficients rationnels ; il faut donc un théorème ou une construction qui couvre cette totalité.

Les hypothèses de Gelfond-Schneider sont indivisibles. La base algébrique doit être non nulle et différente de 1, tandis que l’exposant doit être algébrique et irrationnel. Dans le cadre complexe, la conclusion porte sur toute valeur de la puissance a^b. En notant a la base, le cas charnière a = 1 échappe au théorème ; il faut étudier la puissance autrement.

Un exposant transcendant change la question. Pour une base réelle a > 0 et un exposant réel b, considérons ici la puissance réelle a^b. Lorsque b est transcendant, sa nature algébrique ou transcendante n’est pas caractérisée en général. Il faut traiter le nombre particulier avec un résultat adapté, sans extrapoler le théorème de Gelfond-Schneider.

L’abondance n’identifie pas les exemples. La non-dénombrabilité établie par Cantor en 1878 garantit une multitude de nombres transcendants, mais ne classe pas automatiquement un nombre donné. Pour un témoin explicite, une construction rigoureuse comme celle de Liouville en 1844 est nécessaire.

L’article En route vers la transcendance relie les preuves concernant e et π aux grandes étapes historiques de cette notion.