partie connexe

Sur une droite, colorions tous les nombres strictement compris entre 0 et 1. La bande obtenue ne présente aucune coupure : pour aller d'un nombre colorié à un autre en suivant la droite, on reste dans la bande. Cet intervalle est une partie connexe de la droite réelle.

La topologie remplace ici l'idée visuelle de bande continue par un test précis. Il est impossible de répartir la partie en deux morceaux non vides, séparés et ouverts lorsqu'on les observe depuis la partie elle-même. Ajouter les deux points limites 0 et 1 ne crée aucune coupure.

Soit X un espace topologique et U un sous-ensemble de X. La topologie induite sur U est formée des intersections de U avec les ouverts de X. La partie U est connexe lorsqu'il n'existe pas deux sous-ensembles A et B de U qui soient à la fois non vides, disjoints, ouverts dans U et dont la réunion soit U. Une telle paire constituerait une séparation de U. Les relations de réunion et de disjonction s'écrivent :

Le mot « ouvert » est donc relatif à U, et non nécessairement à l'espace X entier. Un critère équivalent affirme que les seuls sous-ensembles de U qui sont simultanément ouverts et fermés dans U sont l'ensemble vide et U lui-même. Par convention usuelle, l'ensemble vide et tout singleton sont connexes. Dans la droite réelle munie de sa topologie habituelle, une partie non vide est connexe exactement lorsqu'elle est un intervalle, éventuellement réduit à un point. Enfin, si U est connexe, son adhérence dans X, notée $\bar{U}\backslash overline\{U\}$, est connexe : ajouter tous les points limites ne sépare pas l'ensemble.

Dans la droite réelle munie de sa topologie habituelle, considérons la partie U formée des nombres strictement compris entre 0 et 1.
Données : l'espace X est la droite réelle ; la partie étudiée est U = ]0, 1[ ; ses deux points limites sont 0 et 1.

1. Reconnaître la forme de U : c'est un intervalle de la droite réelle.
2. Utiliser le critère propre à la droite réelle : tout intervalle est connexe. Ainsi, U ne peut pas être partagé en deux ouverts relatifs non vides et disjoints.
3. Ajouter les points limites 0 et 1. L'adhérence de U est alors l'intervalle fermé [0, 1].
4. Reconnaître de nouveau un intervalle : [0, 1] est connexe.

Le résultat s'écrit $\bar{U}=[0,1]\backslash overline\{U\}=[0,1]$. Pour contrôler le raisonnement, prenons deux nombres quelconques de U ou de son adhérence : tout nombre situé entre eux appartient encore au même intervalle. Le passage de l'intervalle ouvert à l'intervalle fermé ajoute les deux points limites sans introduire de coupure.

Pour montrer qu'une partie de la droite réelle est connexe, on cherche d'abord si elle est un intervalle. Ce critère direct est préférable à l'étude de toutes les séparations possibles.

Pour établir qu'une partie n'est pas connexe, on exhibe deux ouverts relatifs non vides, disjoints, dont la réunion redonne toute la partie. Sur la droite, une lacune entre deux morceaux fournit souvent cette séparation.

Pour agrandir une partie connexe avec ses points limites, on peut passer à son adhérence sans perdre la connexité. En revanche, réunir arbitrairement des parties connexes exige un autre contrôle, par exemple la présence d'un point commun.

Connexe et connexe par arcs. Une partie connexe par arcs relie toute paire de points par un chemin continu contenu dans la partie ; elle est toujours connexe. La réciproque est fausse en général, même si elle vaut pour les intervalles de la droite réelle.

Partie connexe et composante connexe. Une partie connexe peut être contenue dans une partie connexe plus grande. Une composante connexe est maximale pour l'inclusion : aucun connexe strictement plus grand de l'espace ne la contient.

Connexe et convexe. Dans un espace vectoriel réel, une partie convexe contient le segment joignant chacun de ses couples de points et elle est donc connexe. Un cercle est connexe mais non convexe, car certaines cordes sortent du cercle.

L'intuition d'un seul tenant ne suffit pas. Un dessin peut masquer une lacune ou suggérer un chemin qui n'existe pas. Il faut revenir aux ouverts relatifs, ou employer un critère démontré dans le cadre considéré.

Le cadre topologique est indispensable. La connexité dépend des ouverts choisis sur X et de la topologie induite sur U. Le même ensemble sous-jacent peut donc être connexe pour une topologie et non connexe pour une autre.

Une réunion peut créer plusieurs morceaux. L'union de deux parties connexes disjointes n'est pas automatiquement connexe. Si elles ont un point commun, leur union est connexe ; sans intersection, il faut vérifier autrement.

Les cas dégénérés comptent. L'ensemble vide et un ensemble réduit à un seul point sont connexes avec la convention usuelle : aucune partition en deux ouverts relatifs non vides n'est possible.

connexité - topologie -. Cette entrée replace les parties connexes dans l'étude générale de la connexité d'un espace topologique.

adhérence - topologie -. Cette notion précise quels points limites sont ajoutés à une partie lorsqu'on prend son adhérence.

composante connexe d'un espace. Ce prolongement étudie les parties connexes maximales qui décomposent un espace.

ouvert - topologie -. Cette entrée approfondit les ouverts qui servent à formuler et tester une séparation.