problème de Tammes

Imaginez des points dessinés sur un ballon. On les déplace jusqu'à rendre aussi grand que possible le plus petit écart observé entre deux d'entre eux. C'est ce voisinage le plus serré qui décide du résultat : éloigner deux points déjà isolés ne sert à rien si une autre paire reste très proche.

Avec trois points, la meilleure disposition forme un triangle équilatéral sur un grand cercle de la sphère. Chaque paire est alors séparée par le même angle de 120°.

Fixons un rayon positif R et un nombre entier n au moins égal à 2. On choisit n points x₁, …, x_n sur la sphère de rayon R. Pour une configuration donnée, δ est la plus petite distance euclidienne, mesurée par la corde, entre deux points distincts. Le problème de Tammes demande la configuration qui rend δ aussi grand que possible.

Sa définition complète s'écrit Ce maximum existe : l'ensemble des configurations est compact et leur distance minimale varie continûment. Si θ est l'angle au centre entre deux points, leur corde vaut $2R\sin (\theta \mathrm{/}2)2R\backslash sin(\backslash theta/2)$. Cette expression croît lorsque θ parcourt [0, π] ; maximiser la plus petite corde revient donc à maximiser le plus petit angle. Une rotation ou une réflexion de toute configuration conserve sa qualité.

Pour n = 2, les points sont antipodaux ; pour n = 3, ils forment un triangle équilatéral inscrit dans un grand cercle. La source indique qu'à partir de 2009, des solutions exactes étaient connues pour n ≤ 12 et pour n = 24. Le botaniste Tammes a formulé le problème en 1930 à partir de la disposition des pores de grains de pollen.

Plaçons trois points sur la sphère unité et montrons que l'écart minimal ne peut pas dépasser celui d'un triangle équilatéral.

Données.
La sphère a pour rayon R = 1.
Les trois points sont représentés par des vecteurs unitaires x₁, x₂ et x₃.
La distance retenue est la longueur de la corde. Pour deux vecteurs unitaires, leur produit scalaire est le cosinus de l’angle qu’ils forment.

Étape 1. Le carré de la longueur du vecteur somme ne peut pas être négatif : Au moins un des trois produits scalaires est donc supérieur ou égal à −1/2.

Étape 2. Pour cette paire, le cosinus de l'angle au centre est au moins −1/2. Son angle ne dépasse donc pas 120°. Toute configuration de trois points possède ainsi une paire séparée d'au plus 120°.

Étape 3. Prenons trois points espacés de 120° sur un même grand cercle. Le triangle obtenu est équilatéral. Pour chaque paire, la corde mesure exactement $2\sin ({60}^{\circ })=\sqrt{3}2\backslash sin(60^\backslash circ)=\backslash sqrt\{3\}$.

Résultat. La distance minimale maximale vaut √3 sur la sphère unité, soit un angle minimal de 120°. Le contrôle consiste à vérifier que les trois produits scalaires valent tous −1/2 : la borne de l'étape 1 est alors atteinte pour chaque paire.

Dans l'étude des grains de pollen, le modèle sert à comparer une répartition de pores à une disposition qui évite les voisinages trop serrés. Si les pores ont des tailles différentes ou si la surface s'écarte d'une sphère, il faut employer un modèle qui intègre ces données.

Pour positionner des satellites autour d'un même centre, ce critère est pertinent lorsque l'objectif est d'augmenter la plus petite séparation angulaire. Si la couverture d'une région ou les trajectoires dominent, la seule séparation entre positions ne suffit pas.

Dans la conception de balles de golf et en cristallographie, la même question fournit une référence géométrique pour répartir des emplacements sur une surface sphérique. Le geste pratique consiste toujours à repérer la paire la plus proche, puis à comparer cet écart au meilleur possible pour le nombre de points choisi.

Maximiser la distance minimale n'est pas maximiser la distance moyenne. Dans le problème de Tammes, une seule paire trop proche détermine le score. Une configuration peut augmenter plusieurs grands écarts tout en devenant moins bonne si son plus petit écart diminue.

Répartir des points sur la sphère n'est pas les placer dans la boule. Ici, chaque point doit rester sur la surface. Un point déplacé vers l'intérieur ne constitue donc plus une configuration admissible, même s'il modifie favorablement certaines distances.

Enfin, « problème des dictateurs » est un autre nom du problème de Tammes. L'expression vient de l'image de dirigeants qui chercheraient à éloigner leurs territoires ; elle ne désigne pas un second problème d'optimisation.

Le cas n = 1 n'a pas de paire de points : la « distance minimale entre deux points » n'y est donc pas définie par cette formulation. Le problème commence naturellement à n = 2, où les deux points optimaux sont antipodaux.

Il faut annoncer la distance utilisée. Sur une sphère de rayon fixé, la corde euclidienne et l'angle au centre donnent le même classement des configurations, mais pas la même valeur numérique : pour l'exemple à trois points sur la sphère unité, on lit respectivement √3 et 120°.

Une solution n'est pas unique par sa position absolue. Toute rotation ou réflexion globale conserve toutes les distances ; on parle donc d'une disposition à ces transformations près. En revanche, déplacer un seul point peut réduire l'écart minimal.

La difficulté augmente rapidement avec n. Une configuration numérique très régulière ne constitue pas à elle seule une preuve d'optimalité : il faut aussi une borne supérieure atteinte. La source ne revendique des solutions exactes, à partir de 2009, que pour n ≤ 12 et n = 24.

Un prolongement naturel consiste à faire varier le nombre de points et à suivre la meilleure séparation obtenue. Les cas n = 2 et n = 3 se prouvent directement ; lorsque n augmente, la recherche d'une belle configuration doit être accompagnée d'une borne qui prouve qu'aucune autre ne fait mieux.