problème des trois cercles

Imaginez trois disques dessinés sur une feuille. Il faut tracer un quatrième cercle qui effleure chacun des trois, en un point, sans les couper. Ce cercle peut rester à l’extérieur d’un disque ou l’entourer : chaque choix de tangence change la solution recherchée.

Le problème des trois cercles demande une construction exacte à la règle et au compas, et non un tracé approché. Lorsque les trois cercles sont en position générale, plusieurs réponses peuvent donc coexister.

Le problème des trois cercles, ou problème d’Apollonius, consiste à construire dans le plan un cercle tangent à chacun de trois cercles donnés. La tangence peut être extérieure, lorsque les deux cercles se touchent sans que l’un contienne l’autre, ou intérieure, lorsque l’un contient l’autre. Ces choix conduisent aux différentes solutions du problème. En position générale, les données ne présentent pas de coïncidence particulière qui confondrait plusieurs cas.

Apollonius mentionna ce problème dans le Traité des contacts, ouvrage perdu et connu par des sources indirectes. En 1600, François Viète en donna une résolution complète dans Apollonius Gallus et exhiba huit solutions constructibles à la règle et au compas. Le décompte correspond aux choix possibles de tangence avec les trois cercles donnés ; une configuration particulière peut toutefois confondre ou transformer certains cas.

Un cercle donné peut aussi se dégénérer en un point ou en une droite. On obtient alors une variante du problème, à traiter avec les conditions propres à cette nouvelle donnée. Ces variantes, dont certaines étaient déjà connues des Grecs, relient la géométrie classique, l’algèbre et la construction euclidienne.

Prenons trois cercles de rayon 1. Leurs centres A, B et C sont les sommets d’un triangle équilatéral de côté 6. Nous cherchons la solution située dans l’espace central et tangente extérieurement aux trois cercles.

Données :
rayon de chaque cercle donné : 1 ;
longueur AB = BC = CA = 6 ;
centre commun recherché par symétrie : le centre O du triangle équilatéral.

1. La symétrie place le centre O à la même distance de A, B et C.

2. Dans ce triangle équilatéral de côté 6, la distance de O à chaque sommet vaut 2√3.

3. Appelons R le rayon du cercle recherché. Pour une tangence extérieure, la distance entre les centres est la somme des rayons. Ainsi : $R=2\sqrt{3}-1R=2\backslash sqrt\{3\}-1$.

4. Le rayon obtenu vaut environ 2,464. Le contrôle se refait sur chaque cercle : $R+1=2\sqrt{3}=OA=OB=OCR+1=2\backslash sqrt\{3\}=OA=OB=OC$. Le cercle de centre O et de rayon 2√3 − 1 est donc tangent extérieurement aux trois cercles donnés. Il représente une solution parmi les différents choix de tangence.

Dans une construction à la règle et au compas, on commence par préciser pour chacun des trois cercles si la tangence cherchée est intérieure ou extérieure. Ce choix évite de mélanger des solutions géométriquement différentes.

Dans une configuration symétrique, on exploite d’abord la symétrie pour proposer un centre, puis on contrôle les trois distances aux centres donnés. Si ces distances ne correspondent pas à une somme ou à une différence de rayons, il faut chercher un autre centre.

Pour une configuration sans symétrie visible, cette fiche ne détaille pas la construction euclidienne générale. Elle se limite au cas symétrique de l’exemple et à une méthode de contrôle : vérifier, pour chacun des trois cercles, que la distance entre les centres est égale à la somme ou à la différence des rayons correspondant au type de tangence retenu.

Trois cercles mutuellement tangents. Dans cette configuration, les trois cercles donnés se touchent entre eux. Le problème d’Apollonius porte au contraire sur un quatrième cercle à construire. Le test est simple : si aucune quatrième circonférence n’est recherchée, ce n’est pas le même problème.

Un cercle passant par les trois centres. Passer par A, B et C impose que ces points appartiennent à la circonférence cherchée. Être tangent aux trois cercles impose des distances entre centres égales à des sommes ou à des différences de rayons. Dans l’exemple équilatéral, le cercle de rayon 2√3 centré en O passe par A, B et C, tandis que la solution centrale a pour rayon 2√3 − 1.

Configuration particulière. Le nombre de huit solutions décrit la résolution générale de Viète. Si des cercles coïncident, se touchent déjà ou occupent une disposition spéciale, certains cas peuvent se confondre ou changer de nature. Il faut alors étudier la configuration obtenue au lieu d’appliquer mécaniquement le décompte général.

Donnée dégénérée. Lorsqu’un cercle donné devient un point ou une droite, le problème n’a plus exactement trois cercles ordinaires. Il faut reformuler la condition correspondante, puis résoudre la variante plutôt que conserver sans contrôle les conditions du cas général.

Type de tangence oublié. Un simple contact visuel ne dit pas si la tangence est intérieure ou extérieure. Le symptôme est un rayon qui vérifie la mauvaise relation entre centres. Le contrôle doit utiliser, pour chacun des trois contacts, la somme ou la différence des rayons appropriée.

L’article Des constructions à foison prolonge la lecture par d’autres problèmes où une figure doit être obtenue au moyen d’instruments géométriques.