processus de Galton-Watson

Imaginez une population qui commence avec un seul individu. Il peut n'avoir aucun descendant ou en avoir deux. Chacun de ces descendants recommence ensuite le même tirage, indépendamment des autres. La population forme ainsi un arbre dont chaque étage correspond à une génération.

Le processus de Galton-Watson étudie l'évolution aléatoire du nombre d'individus à chaque étage. Une génération vide arrête définitivement la lignée. Le nombre moyen de descendants indique si l'extinction est inévitable ou si une survie sans fin devient possible, sans garantir le destin d'une réalisation particulière.

Un processus de Galton-Watson est un processus de branchement à générations discrètes. Le nombre d'individus de la génération numéro n est noté $Z_{n}Z\_n$. Chaque individu produit un nombre aléatoire de descendants ayant la même loi que la variable X, et ces nombres sont indépendants entre individus et entre générations. En partant de $Z_{0}Z\_0$ individus, l'effectif suivant est la somme des descendances individuelles : $Z_{n+1}=X_{n,1}+\cdots +X_{n,Z_n}Z\_\{n+1\}=X\_\{n,1\}+\backslash cdots+X\_\{n,Z\_n\}$. Si une génération est vide, toutes les suivantes le sont.

La fonction génératrice de la loi de X est notée f et définie par $f(s)=\mathbb{E}[s^X]f(s)=\backslash mathbb\{E\}[s^X]$ pour s compris entre 0 et 1. En partant d'un individu, la probabilité d'extinction q est la plus petite solution dans cet intervalle de $f(q)=qf(q)=q$. Le nombre moyen de descendants, noté m, vaut $m=\mathbb{E}[X]m=\backslash mathbb\{E\}[X]$. Sous les hypothèses précédentes, si m est inférieur ou égal à 1, l'extinction est certaine, sauf dans le cas dégénéré où chaque individu a toujours exactement un descendant. Si m est strictement supérieur à 1, la survie a une probabilité positive.

Ce modèle est une chaîne de Markov à temps discret : connaissant l'effectif actuel, les effectifs passés n'apportent rien pour calculer la loi de la génération suivante. Francis Galton et Henry William Watson l'ont étudié en 1873 dans On the Probability of Extinction of Families, à propos de la disparition des noms de famille dans les sociétés victoriennes.

Une population part d'un individu. Chaque individu a 0 descendant avec une probabilité de 1/4, ou 2 descendants avec une probabilité de 3/4. Les tirages sont indépendants et la loi reste la même à chaque génération.

1. Le nombre moyen de descendants est $m=0\times \frac{1}{4}+2\times \frac{3}{4}=\frac{3}{2}m=0\backslash times\backslash frac14+2\backslash times\backslash frac34=\backslash frac32$. Comme 3/2 est supérieur à 1, une survie indéfinie a une probabilité positive.

2. La fonction génératrice de cette loi est $f(s)=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}{s}^{2}f(s)=\backslash frac14+\backslash frac34s^2$. La probabilité d'extinction q est sa plus petite solution entre 0 et 1 de l'équation $f(q)=qf(q)=q$.

3. L'équation se factorise : $3q^2-4q+1=(3q-1)(q-1)=03q^2-4q+1=(3q-1)(q-1)=0$. Ses deux solutions sont 1/3 et 1.

4. La plus petite solution est donc q = 1/3. La lignée s'éteint avec une probabilité de 1/3 et survit indéfiniment avec une probabilité de 2/3.

Un arbre possible compte successivement 1, 2 puis 2 individus : parmi les deux individus de la première génération, l'un a 0 descendant et l'autre en a 2. Ce scénario respecte bien la loi annoncée. Pour contrôler le calcul, on vérifie directement que $f(\frac{1}{3})=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\times \frac{1}{9}=\frac{1}{3}f(\backslash frac13)=\backslash frac14+\backslash frac34\backslash times\backslash frac19=\backslash frac13$.

Pour étudier une population par générations, on commence par relever la fréquence de chaque nombre de descendants. On utilise le modèle de Galton-Watson seulement si une même loi et l'indépendance entre individus sont des hypothèses raisonnables. Si la loi change avec le temps, un modèle dépendant de la génération convient mieux.

Pour diagnostiquer le régime, on calcule le nombre moyen de descendants. Une moyenne inférieure à 1 annonce l'extinction certaine dans le modèle. Une moyenne supérieure à 1 conduit à calculer la plus petite solution de f(q) = q, car la moyenne seule ne donne pas la probabilité d'extinction.

Pour vérifier une intuition, on peut simuler plusieurs arbres avec la même loi. Les arbres individuels peuvent avoir des destins très différents. Le calcul par fonction génératrice reste la référence pour la probabilité théorique ; la simulation sert à observer la variabilité et à contrôler un ordre de grandeur.

Processus de Galton-Watson et chaîne de Markov. Le premier est un modèle de branchement particulier ; la seconde est une famille plus large de processus dont l'avenir dépend seulement de l'état présent. Une chaîne à deux états sans reproduction peut être markovienne sans former un arbre généalogique.

Probabilité d'extinction et proportion moyenne de décroissance. La probabilité d'extinction concerne l'événement où une génération devient vide. Le nombre moyen de descendants décrit un régime, mais ne donne pas q à lui seul. Deux lois ayant la même moyenne peuvent avoir des probabilités d'extinction différentes.

Seuil m = 1. Dire que l'extinction est toujours certaine au seuil oublie un cas dégénéré. Si chaque individu a exactement un descendant avec probabilité 1, alors l'effectif reste constant et l'extinction n'arrive jamais. Il faut donc vérifier la loi, pas seulement sa moyenne.

Moyenne supérieure à 1. Ce seuil n'assure pas la survie d'une lignée donnée. Dans l'exemple, m = 3/2 mais l'extinction garde une probabilité de 1/3. Il faut calculer la plus petite solution de f(q) = q pour quantifier le risque.

Dépendance ou loi variable. Si les descendances de plusieurs individus sont liées, ou si leur loi change selon la génération, le modèle classique ne s'applique plus tel quel. Le symptôme est que connaître seulement l'effectif présent ne suffit plus ; il faut alors expliciter l'environnement ou la dépendance.

Espérance sans probabilité complète. Connaître m ne suffit pas à reconstruire la loi des descendants. Le calcul exact de q exige la fonction génératrice entière. À moyenne égale, il faut conserver toutes les probabilités possibles de descendance au lieu de remplacer la loi par sa moyenne.

La fiche Branchement (processus de) replace le modèle de Galton-Watson dans la famille des processus décrivant des lignées aléatoires.

La fiche espérance mathématique approfondit la moyenne m qui sépare les principaux régimes d'extinction et de survie.

La fiche chaîne de Markov éclaire pourquoi l'effectif actuel suffit à déterminer la loi de la génération suivante.