Retournement

Imaginez le graphe d’une fonction dessiné sur un calque, puis rabattez ce calque autour de l’axe vertical. Chaque point situé à l’abscisse 2 passe à l’abscisse −2, sans changer de hauteur. Le retournement effectue précisément ce miroir horizontal.

Ainsi, un créneau valant 1 entre 1 et 3 se retrouve entre −3 et −1. La figure matérialise ce déplacement : les valeurs ne sont pas modifiées, seules leurs positions opposées sur l’axe le sont.

Soit une fonction notée f, définie sur un domaine stable par changement de signe, par exemple la droite réelle. Son retournement, noté $\tilde{f}\backslash widetilde\; f$, associe à l’entrée x la valeur que f prend à l’entrée opposée : $\tilde{f}(x)=f(-x)\backslash widetilde\; f(x)=f(-x)$. Géométriquement, le graphe subit une symétrie par rapport à l’axe vertical. Retourner deux fois redonne la fonction initiale.

Dans le produit de convolution de deux fonctions f et g, la seconde fonction apparaît sous la forme retournée puis translatée. Pour une position x, on intègre sur la droite réelle par rapport à la variable t : $(f\ast g)(x)={\int }_{\mathbb{R}}f(t)g(x-t)dt(f*g)(x)=\backslash int\_\{\backslash mathbb\; R\}\; f(t)g(x-t)\backslash ,dt$. Cette intégrale classique exige notamment que le produit intégré ait un sens et soit intégrable.

Pour une distribution T, qui agit sur des fonctions test, le retournement se définit par dualité. Si la fonction test est notée φ, alors $⟨\tilde{T},\phi ⟩=⟨T,\tilde{\phi }⟩\backslash langle\backslash widetilde\; T,\backslash varphi\backslash rangle=\backslash langle\; T,\backslash widetilde\backslash varphi\backslash rangle$. Cette formulation étend le même changement de signe à des objets qui ne sont pas nécessairement des fonctions ordinaires.

On considère une fonction f en forme de créneau.
Donnée 1 : elle vaut 1 lorsque l’entrée appartient à l’intervalle [1, 3].
Donnée 2 : elle vaut 0 partout ailleurs.
Donnée 3 : son retournement est noté $\tilde{f}\backslash widetilde\; f$.

1. Pour calculer la valeur retournée à l’entrée −2, on prend l’entrée opposée, soit 2.

2. Comme 2 appartient à [1, 3], on obtient $\tilde{f}(-2)=f(2)=1\backslash widetilde\; f(-2)=f(2)=1$.

3. Plus généralement, l’opposé de x appartient à [1, 3] exactement lorsque x appartient à [−3, −1]. Le créneau retourné occupe donc cet intervalle.

4. Le contrôle consiste à retourner une seconde fois : [−3, −1] redevient [1, 3]. On retrouve bien la fonction de départ, avec la même hauteur 1.

Pour une convolution. On retourne l’une des fonctions, puis on la translate avant de mesurer son recouvrement avec l’autre. Une multiplication point par point ne convient pas lorsque le résultat doit dépendre de ce glissement.

Pour une corrélation croisée. On compare un signal à une version décalée d’un autre signal, avec un retournement déterminé par la convention choisie. Si l’objectif est de combiner deux réponses plutôt que de repérer leur ressemblance selon un décalage, la convolution est l’opération adaptée.

Pour une distribution. On ne cherche pas des valeurs ponctuelles. On retourne plutôt les fonctions test par changement de signe, puis on fait agir la distribution sur elles ; cette voie remplace la formule point par point, qui peut ne pas exister.

Retournement d’une fonction et demi-tour géométrique. Ici, le test décisif est le remplacement de l’entrée x par −x. Dans le plan du graphe, le point (2, 1) devient (−2, 1), et non (−2, −1) comme lors d’un demi-tour autour de l’origine.

Retournement et translation. Le retournement inverse le signe de l’entrée, tandis qu’une translation lui ajoute ou lui retranche un décalage. Le créneau [1, 3] devient [−3, −1] par retournement ; un décalage de 2 vers la gauche donnerait [−1, 1].

Convolution et corrélation croisée. Les deux calculs peuvent faire intervenir retournement et translation, mais ils n’ont pas le même objectif. La convolution combine deux fonctions ; la corrélation croisée mesure leur ressemblance selon un décalage, avec des conventions d’écriture à préciser.

Une fonction paire paraît inchangée. Lorsque $f(-x)=f(x)f(-x)=f(x)$, le retournement produit le même graphe. L’absence de changement visible ne signifie pas que l’opération a été omise ; il faut vérifier l’égalité.

Une fonction impaire change de signe. Lorsque $f(-x)=-f(x)f(-x)=-f(x)$, la fonction retournée vaut −f. Il faut distinguer cette conséquence de la définition, qui porte toujours sur l’entrée.

L’intégrale de convolution n’est pas automatique. Si le produit $f(t)g(x-t)f(t)g(x-t)$ n’est pas intégrable pour la valeur de x considérée, la formule classique ne fournit pas de nombre. Il faut alors renforcer les hypothèses ou choisir un cadre étendu approprié.

Les conventions de corrélation varient. Selon le côté retourné et le signe retenu pour le décalage, deux formules peuvent sembler opposées. Avant de comparer des résultats, il faut écrire explicitement la convention employée.

La fiche convolution prolonge cette lecture en montrant comment le retournement et la translation s’assemblent dans une intégrale.