suite de Goodstein
À partir d’un entier naturel m, on l’écrit en notation héréditaire en base 2, c’est-à-dire en développant aussi récursivement ses exposants dans cette base. À chaque étape, on remplace partout la base courante n par n+1, puis on soustrait 1 ; le résultat est réécrit héréditairement dans la nouvelle base pour poursuivre. Le théorème de Goodstein affirme que, malgré une croissance initiale possible, toute suite ainsi obtenue atteint 0.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Construire chaque terme en notation héréditaire et dans la bonne base.
- Refaire intégralement l'exemple qui part de 3 et atteint 0.
- Distinguer changement symbolique de base et simple conversion d'écriture.
- Relier la terminaison universelle à une décroissance d'ordinaux.
En clair
Prenez le nombre 3 et écrivez-le avec des puissances de 2 : 3 = 2 + 1. Remplacez ensuite la base 2 par 3, puis retirez 1 : le résultat vaut encore 3. Recommencez en augmentant la base à chaque tour. La valeur peut stagner ou même grandir, mais le théorème de Goodstein garantit qu'après un nombre fini d'étapes elle finit toujours par tomber à 0.
Définition
La notation héréditaire en base b d'un entier naturel développe cet entier en puissances de la base b, puis développe aussi chaque exposant en puissances de b, récursivement. Les coefficients restent des entiers compris entre 0 et b − 1. Ainsi, la base ne se cache plus dans un exposant laissé sous forme décimale.
Pour un entier initial m, la suite de Goodstein commence par m en base 2. À chaque étape, on prend l'écriture héréditaire correspondant à la base courante b, on remplace partout le symbole b par b + 1, puis on soustrait 1 au nombre obtenu. Le terme suivant est ensuite mis en notation héréditaire dans cette nouvelle base. Les bases utilisées sont donc successivement 2, 3, 4, et ainsi de suite.
Le théorème de Goodstein affirme que, pour tout entier naturel m, ce processus atteint 0 après un nombre fini d'étapes. Les valeurs ordinaires peuvent pourtant croître très vite au début. La preuve associe aux écritures héréditaires des ordinaux qui, eux, décroissent strictement ; elle dépasse la seule observation numérique des premiers termes.
De quoi c'est fait
Une suite de Goodstein repose sur quatre éléments. Le terme courant est l'entier à transformer. La base courante, égale à 2 au départ, fixe son écriture. La notation héréditaire développe le terme et tous ses exposants avec cette même base. Enfin, la règle « changer la base, puis soustraire 1 » produit le terme suivant.
L'ordre de ces éléments est essentiel : le remplacement de b par b + 1 agit sur chaque occurrence de la base dans l'écriture héréditaire, y compris dans les exposants, avant la soustraction. Le résultat obtenu dépend donc de l'écriture complète, pas seulement de la valeur de départ. Ces données suffisent à construire chaque terme de manière déterministe jusqu'à 0.
Un exemple, pas à pas
Partons de l'entier m = 3. Les données sont le premier terme 3, la base initiale 2 et la règle immuable : écrire héréditairement, augmenter la base, puis soustraire 1. Ici, les exposants sont seulement 1 ou 0, donc leur développement héréditaire ne complique pas les calculs.
1. En base 2, 3 = 2 + 1. Le remplacement 2 → 3 donne 3 + 1 ; après soustraction, le deuxième terme vaut 3.
2. En base 3, 3 = 3. Le remplacement 3 → 4 puis la soustraction donnent 4 − 1 = 3.
3. En base 4, 3 est un coefficient constant. Le changement 4 → 5 ne le modifie pas ; la soustraction donne 2.
4. Dans les bases suivantes, la même situation donne successivement 1, puis 0.
2. En base 3, 3 = 3. Le remplacement 3 → 4 puis la soustraction donnent 4 − 1 = 3.
3. En base 4, 3 est un coefficient constant. Le changement 4 → 5 ne le modifie pas ; la soustraction donne 2.
4. Dans les bases suivantes, la même situation donne successivement 1, puis 0.
La suite complète est donc 3, 3, 3, 2, 1, 0. Le contrôle consiste à vérifier deux faits à chaque ligne : toutes les occurrences de la base ont été remplacées avant de retirer 1, et le résultat est réécrit dans la nouvelle base pour l'étape suivante. La figure synthétise ces cinq transitions vérifiables.
En pratique
Pour calculer les premiers termes, on travaille avec des entiers exacts et une représentation symbolique des puissances. Une calculatrice à précision fixe devient vite inadaptée lorsque les valeurs grossissent ; un calcul formel ou un programme à entiers arbitrairement grands préserve les écritures exactes.
Pour vérifier une étape à la main, on entoure d'abord toutes les occurrences de la base, y compris celles qui apparaissent dans les exposants. On effectue leur remplacement simultané, puis seulement la soustraction. Ce geste évite de confondre l'écriture héréditaire avec une simple conversion de base.
Pour établir que la suite se termine dans tous les cas, prolonger une simulation ne suffit pas. L'alternative pertinente est l'argument ordinal : il associe à chaque terme un objet qui décroît strictement, même lorsque la valeur entière observée augmente.
À ne pas confondre
Une écriture ordinaire en base b développe le nombre, mais peut laisser ses exposants sous une forme indépendante de b. L'écriture héréditaire développe aussi ces exposants. Pour 4 en base 2, écrire seulement 2² ne suffit pas : l'exposant 2 doit lui-même être écrit avec la base 2.
La conversion d'un même nombre dans une autre base conserve sa valeur. L'étape de Goodstein fait autre chose : elle conserve la forme symbolique et remplace la base, ce qui peut changer fortement la valeur, avant de soustraire 1. Le passage de 4 = 2² à 3³ − 1 = 26 tranche nettement entre les deux opérations.
Limites et pièges
Le mot « décroît » ne décrit pas nécessairement les valeurs entières de la suite. Dès m = 4, la première étape donne 26 : la croissance initiale n'est donc pas un contre-exemple au théorème. Ce qui décroît dans la preuve est l'ordinal associé, pas forcément le terme naturel visible.
Soustraire 1 avant de changer de base définit un autre processus. Le symptôme est immédiat avec m = 3 : retirer 1 donnerait 2, alors que l'étape correcte remplace d'abord 2 par 3 dans 2 + 1 et donne 3. Il faut conserver l'ordre « remplacement, puis soustraction ».
Une longue liste de termes ne prouve pas la terminaison pour tout entier initial. Elle contrôle seulement les cas effectivement calculés. Pour la conclusion universelle, il faut l'argument d'arithmétique ordinale ; l'explosion des valeurs rend précisément l'extrapolation numérique trompeuse.
Pour aller plus loin
Le nombre ordinal fournit le changement de point de vue décisif : remplacer la base variable par un symbole ordinal transforme la croissance numérique apparente en une descente bien fondée.
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