vecteur glissant

Imaginez une force de 100 N qui pousse un solide horizontalement. Sa flèche peut partir de plusieurs points de la même droite horizontale sans changer le vecteur glissant représenté. Elle garde la même droite d’action, le même sens et la même intensité.

La flèche ne peut toutefois pas être déplacée sur une droite parallèle quelconque. Elle « glisse » seulement sur son propre support.

En mécanique, un vecteur glissant est le couple formé par un vecteur non nul et une droite affine parallèle à ce vecteur, qui lui sert de support. Le vecteur fixe une direction, un sens et une intensité, aussi appelée valeur. La droite affine fixe sa position dans l’espace, mais aucun point particulier de cette droite n’est imposé comme point d’application. Pour inclure le vecteur nul, dont la direction et le sens ne sont pas définis, il faut lui attribuer une droite support par convention.

Deux représentations décrivent donc le même vecteur glissant si leurs flèches ont la même intensité et le même sens, et si elles sont portées par la même droite d’action. Déplacer le point d’application le long de cette droite ne change pas l’objet. Un déplacement vers une droite seulement parallèle change en revanche le support.

Cette définition se situe entre deux autres usages. Un vecteur libre n’a aucun point d’application ni aucune droite affine fixés. Un vecteur lié, ou pointeur, possède au contraire un point d’application déterminé. Les vecteurs glissants interviennent notamment pour représenter des forces en mécanique du solide. Un système de vecteurs glissants peut être décrit par un torseur, caractérisé notamment par sa résultante et son moment en un point.

Un vecteur glissant réunit une droite d’action et trois caractéristiques lisibles sur une flèche. La droite d’action, ou support, situe l’objet. La direction est celle de cette droite. Le sens choisit l’une des deux orientations possibles sur le support. L’intensité donne la valeur du vecteur. Le point d’application sert seulement à tracer une représentation : il reste mobile sur toute la droite et ne définit pas le vecteur glissant.

Le support détermine donc la direction, tandis que le sens et l’intensité déterminent la flèche portée par ce support. Ces données suffisent à reconnaître toutes les représentations équivalentes du même vecteur glissant. La longueur dessinée et la couleur de la flèche ne le définissent pas, sauf si une échelle graphique précise associe la longueur à l’intensité.

Une force horizontale agit suivant la droite d’équation y = 2 m dans un repère du plan. Les données sont une intensité de 100 N, un sens vers la droite, un premier point A de coordonnées (1 m ; 2 m) et un second point B de coordonnées (4 m ; 2 m). La figure rend visible le déplacement autorisé de la flèche entre A et B.

1. La droite passant par A et B est horizontale : les deux points appartiennent bien au support y = 2 m.
2. En A, la force a pour composantes (100 N ; 0 N).
3. On fait glisser son point d’application de A vers B, soit un déplacement de 3 m le long du support.
4. En B, les composantes restent (100 N ; 0 N), le sens reste orienté vers la droite et l’intensité reste 100 N.
5. Les deux flèches représentent donc le même vecteur glissant.

Le contrôle est refaisable : les ordonnées de A et B valent toutes deux 2 m, puis la longueur du vecteur de déplacement de A vers B vaut 4 m − 1 m = 3 m. Le déplacement est bien parallèle à la force et reste sur sa droite d’action.

En mécanique du solide, une force peut être représentée comme un vecteur glissant lorsque son point de tracé peut être déplacé sur la droite d’action sans changer la représentation étudiée. Le critère observable est que support, sens et intensité restent identiques.

Dans un schéma, on choisit alors sur le support un point qui laisse la flèche et les annotations bien lisibles. Si le point d’application doit rester précisément fixé, on emploie plutôt un vecteur lié.

Pour comparer deux forces dessinées, on prolonge mentalement leurs supports. Des flèches de même sens et de même intensité ne forment le même vecteur glissant que si ces supports coïncident ; s’ils sont seulement parallèles, il faut conserver deux vecteurs glissants distincts.

Vecteur libre. Il est déterminé par sa direction, son sens et sa norme, sans droite affine fixée. Deux flèches égales placées sur deux droites parallèles représentent le même vecteur libre, mais pas le même vecteur glissant.

Vecteur lié, ou pointeur. Son point d’application est une donnée obligatoire. Une flèche déplacée de A vers B ne représente donc plus le même vecteur lié, même lorsque A et B appartiennent à une même droite d’action.

Torseur. Un vecteur glissant est un objet individuel. Un système de vecteurs glissants peut être décrit par un torseur, qui regroupe notamment sa résultante et son moment en un point ; un ensemble arbitraire de vecteurs glissants ne reçoit donc pas automatiquement ce nom.

Droite parallèle, mais distincte. Le piège apparaît lorsque deux flèches ont même direction, même sens et même intensité, mais des supports décalés. Elles représentent le même vecteur libre, pas le même vecteur glissant : il faut conserver chaque droite d’action.

Point déplacé hors du support. Dans l’exemple, passer de l’ordonnée 2 m à une autre ordonnée fait sortir le point de la droite y = 2 m. Même un écart très petit change formellement la droite d’action ; il ne s’agit plus d’un glissement autorisé.

Sens inversé. Retourner la flèche tout en gardant la même droite et la même intensité modifie le vecteur glissant. Il faut vérifier l’orientation de la pointe, et pas seulement l’alignement du dessin.

Intensité nulle. À 0 N, une flèche n’a plus de sens ni de direction lisibles dans la représentation. La représentation graphique ordinaire devient donc insuffisante ; il faut annoncer explicitement qu’il s’agit du vecteur nul et préciser la convention de support adoptée.

Le prolongement naturel consiste à étudier plusieurs vecteurs glissants simultanément. Un tel système peut être décrit par un torseur, outil central de la mécanique du solide, caractérisé notamment par sa résultante et son moment en un point. Cette perspective conduit à examiner ce que le système conserve lorsque chaque point d’application glisse sur sa propre droite d’action.