En maths, rien ne vaut une bonne démonstration

Le danger d'un raisonnement inductif, qui se limite à multiplier (même en très grand nombre) des exemples numériques, est bien connu : la prolifération de cas favorables ne constitue en rien une démonstration, et n'augmente même pas la probabilité qu'une conjecture soit vraie ! Les exemples foisonnent en théorie des nombres. Ainsi, les entiers inférieurs à N = 61 917 364 224 ne sont jamais des puissances cinquièmes décomposables en une somme de quatre puissances cinquièmes. Mais N, égal à 1445, dément une conjecture d'Euler sur l'impossibilité d'une telle décomposition, découverte finalement en 1967 à l'aide d'ordinateurs : 1445 = 275 + 845 + 1105 + 1335.
De même, examinons la suite 31, 331, 3 331, 33 331, 333 331, 3 333 331, 33 333 331 : ils sont tous premiers ! Mais l'extrapolation est une dangereuse béquille. Connue depuis le XVVIIe siècle et remise au goût du jour par Simon Singh, cette suite fit conjecturer que tous les nombres de ce type sont premiers. Or le suivant est un nombre composé : 333 333 331 = 17 × 19 607 843.