Una frase autoreferenziale è una frase che si riferisce a se stessa. È facile fornirne esempi, come «Questa frase contiene cinque parole.», che inoltre enuncia una proprietà (P) vera. La frase sarebbe altrettanto autoreferenziale se (P) fosse falsa. La proprietà (P) può anche essere paradossale («né vera né falsa», in un certo senso), come nell’esempio classico: «Questa frase è una menzogna.» Se questa frase è davvero una menzogna, dice il vero, quindi non è una menzogna. Se dice il vero, è una menzogna. È un paradosso.
L’autoreferenza può essere accostata alle definizioni ricorsive in matematica, come quella della fattoriale fact che soddisfa la proprietà autoreferenziale fact (n) = n × fact (n – 1). Questa uguaglianza definisce la fattoriale, purché vi si aggiunga fact (0) = 1. La dimostrazione rigorosa di questo risultato si ottiene per induzione. Questo esempio mostra che una definizione autoreferenziale può essere valida.
Approssimazioni successive
Il metodo delle approssimazioni successive consiste nel risolvere un’equazione scrivibile nella forma f (x) = x usando una successione (un)n≥0 definita dal suo primo termine u0 e dalla relazione di ricorrenza un+1 = f (un). Prendiamo un esempio e consideriamo l’equazione x2 – x – 2 = 0, che può essere scritta nella forma x2 – 2 = x. Poniamo f (x) = x2 – 2. Partendo da u0 = 0, otteniamo u1 = –2, u2 = 2, u3 = 2… Il numero 2 è dunque un punto fisso di f e quindi una radice dell’equazione considerata. Partendo da u0 = 1, si ottiene un altro punto fisso, il numero – 1. Si ottengono così le due radici dell’equazione data.
Naturalmente, questo metodo non funziona per una scelta qualsiasi della funzione f: sono necessarie alcune ipotesi. Sorprendentemente funziona anche al di fuori dell’ambito puramente numerico, per esempio nella ricerca di una frase autoreferenziale. Più precisamente, occorre completare la frase seguente con un numero, scritto in lettere, che la renda esatta:
