Una frase autorreferente es una frase que se refiere a sí misma. Es fácil dar ejemplos, como «Esta frase contiene cinco palabras.», que además enuncia una propiedad (P) verdadera. La frase sería igual de autorreferente si (P) fuera falsa. La propiedad (P) también puede ser paradójica («ni verdadera ni falsa», en cierto sentido), como en el ejemplo clásico: «Esta frase es una mentira». Si esta frase es realmente una mentira, dice la verdad, así que no es una mentira. Si dice la verdad, es una mentira. Es paradójico.
La autorreferencia puede relacionarse con las definiciones recursivas en matemáticas, como la de la factorial fact, que cumple la propiedad autorreferente fact (n) = n × fact (n – 1). Esta igualdad define la factorial, siempre que se añada fact (0) = 1. La demostración precisa de este resultado se hace por inducción. Este ejemplo muestra que una definición autorreferente puede ser válida.
Aproximaciones sucesivas
El método de las aproximaciones sucesivas consiste en resolver una ecuación que pueda escribirse en la forma f (x) = x utilizando una sucesión (un)n≥0 definida por su primer término u0 y por la relación de recurrencia un+1 = f (un). Veamos un ejemplo y consideremos la ecuación x2 – x – 2 = 0, que puede escribirse como x2 – 2 = x. Sea f (x) = x2 – 2. Partiendo de u0 = 0, obtenemos u1 = –2, u2 = 2, u3 = 2… El número 2 es, por tanto, un punto fijo de f y una raíz de la ecuación considerada. Partiendo de u0 = 1, obtenemos otro punto fijo, el número – 1. Obtenemos así las dos raíces de la ecuación dada.
Naturalmente, este método no funciona con cualquier elección de la función f: son necesarias algunas hipótesis. Lo sorprendente es que funciona fuera del ámbito puramente numérico, por ejemplo al buscar una frase autorreferente. Más precisamente, se trata de completar la frase siguiente con un número, escrito con todas sus letras, que la haga verdadera:
