Dimostrazione

Sia q = (q₁, q₂… *q_p) uno stato del gioco di Cram e {q_i, 1 ≤ i ≤ p} le sue componenti connesse. Allora q è equivalente al gioco dei fiammiferi di Marienbad formato da nim( q*₁ ) $\oplus \backslash oplus$ … $\oplus \backslash oplus$ nim( *q_p * ), dove p rappresenta il numero di righe di fiammiferi e nim(*q_i *) il numero di fiammiferi in ciascuna di queste righe.

In particolare, q è perdente se e solo se nim( q₁ ) $\oplus \backslash oplus$ … $\oplus \backslash oplus$ nim( *q_p * ) = 0.

(i) Se non esiste alcuna mossa rimanente, q è perdente e nim(q) = mex(∅) = 0