Enigmi geometrici all’infinito

I sangaku sono una fonte inesauribile di meraviglia geometrica. Le figure proposte e le relazioni metriche che mettono in evidenza hanno un fascino estetico tutto particolare. Alcune sono diventate classici della geometria. È il caso, per esempio, del disegno proposto su una tavoletta datata 1820 ed esposta nella prefettura di Miyagi (Honshu), che raffigura due cerchi tangenti tra loro e a una stessa retta. Il gioco consiste nell’esprimere in funzione dei raggi r e R dei due cerchi la distanza fra i loro punti di contatto con la retta.

La soluzione discende direttamente dall’applicazione del teorema di Pitagora al triangolo O₁HO₂. Si ha AB² = O₁O₂² – O₂H e, poiché O₁O₂ = r + R e O₂H = R – r, qualche semplice calcolo porta infine a $\text{AB}=2\sqrt{r\text{R}}\mathrm{.}\backslash text\{AB\}\; =\; 2\; \backslash sqrt\{r\; \backslash text\{R\}\}.$

Il classico dei classici ---------------------------

Un’altra figura, legata alla precedente, è emblematica del periodo Wasan (17^º secolo). Esposta nella prefettura di Gunma (Honshu), regione montuosa a nord di Tokyo, è datata 1824. Riprendete i due cerchi precedenti e inserite un piccolo cerchio tangente ai due più grandi e alla retta. Quale elegante relazione lega i raggi dei tre cerchi?