Il teorema di Cartesio nello spazio… e oltre ---------------------------------------------------
Nel piano, il teorema di Cartesio *(vedi il riquadro nell’articolo « Cerchi tangenti »)* stabilisce una relazione fra le curvature di quattro cerchi tangenti a due a due, tali che tre di essi non abbiano la stessa tangente. Questo risultato si generalizza nello spazio? La risposta è affermativa. Più precisamente, considerando cinque sfere tangenti a due a due nello spazio, tali che tre di esse non abbiano lo stesso piano tangente, si ottiene la relazione seguente:
(∑i=15ki)2=3(∑i=15ki2),
dove i valori *ki, per i che varia da 1 a 5, sono le curvature* delle cinque sfere, cioè gli inversi dei raggi.
Questo risultato fu enunciato nel 1886 dal matematico britannico Robert Lachlan (1861—1945). Una dimostrazione comparve nel 1916 in un libro del matematico statunitense Julian Lowell Coolidge (1873—1954). Frederick Soddy lo menzionò nel 1936 nella terza strofa della sua poesia Kiss precise (vedi « Récrémaths »).