El teorema de Descartes en el espacio… y más allá ---------------------------------------------------
En el plano, el teorema de Descartes *(véase el recuadro del artículo « Círculos tangentes »)* establece una relación entre las curvaturas de cuatro círculos tangentes dos a dos, tales que tres de ellos no tengan la misma tangente. ¿Se generaliza este resultado en el espacio? La respuesta es afirmativa. Más precisamente, si consideramos cinco esferas tangentes dos a dos en el espacio, tales que tres de ellas no tengan el mismo plano tangente, obtenemos la siguiente relación:
(∑i=15ki)2=3(∑i=15ki2),
donde los valores *ki, para i que varía de 1 a 5, son las curvaturas* de las cinco esferas, es decir, las inversas de sus radios.
Este resultado fue enunciado en 1886 por el matemático británico Robert Lachlan (1861—1945). Una demostración apareció en 1916 en un libro del matemático estadounidense Julian Lowell Coolidge (1873—1954). Frederick Soddy lo menciona, en 1936, en la tercera estrofa de su poema Kiss precise (véase « Récrémaths »).