Le théorème de Descartes dans l’espace… et au-delà

Dans le plan, le théorème de Descartes (voir encadré dans l'article « Des cercles touchants ») donne une relation entre les courbures de quatre cercles tangents deux à deux et tels que trois d’entre eux n’aient pas la même tangente. Ce résultat se généralise-t-il dans l’espace ? La réponse est positive. De manière plus précise, si l’on considère cinq sphères tangentes deux à deux dans l’espace et telles que trois d’entre elles n’aient pas le même plan tangent, on a la relation suivante :
(∑i=15ki)2=3(∑i=15ki2),\left( \sum_{i=1}^5 k_i \right)^2 = 3 \left( \sum_{i=1}^5 k_i^2 \right) ,
où les valeurs ki, pour i variant de 1 à 5, sont les courbures des cinq sphères, c’est-à-dire les inverses des rayons.
Ce résultat a été énoncé en 1886 par le mathématicien britannique Robert Lachlan (1861—1945). Une démonstration apparaît en 1916 dans un livre du mathématicien américain Julian Lowell Coolidge (1873—1954). Frederick Soddy, en 1936, le signale dans la troisième strophe de son poème Kiss precise (voir « Récrémaths »).