La mia tesi su Tangente

Molti fenomeni musicali presentano una periodicità, come l’equivalenza delle ottave o la periodicità ritmica. In matematica esistono strumenti per modellizzare strutture di questo tipo: le congruenze. Prendiamo per esempio la melodia qui sotto: ogni nota musicale che compone questa battuta può essere caratterizzata dalla posizione e dall’altezza, rappresentate rispettivamente dall’asse orizzontale e da quello verticale.

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La posizione della nota corrisponde al momento in cui compare nella battuta, ossia al momento in cui viene suonata: la prima nota – il do – compare al tempo 0; poi si suddivide il tempo secondo un’unità scelta opportunamente e si assegna un numero a ciascuna delle note successive. Nella maggior parte dei casi, tale unità di tempo è scelta in base alla durata più breve, qui la croma, cosicché la semiminima vale 2, la semiminima puntata 3, ecc. Si contano quindi otto tempi nella battuta, il che significa che si lavora «modulo 8».

Allo stesso modo, a ogni nota si associa un’altezza, che corrisponde in qualche modo al «valore» della nota suonata, in termini di frequenza. Nell’analisi musicale si considerano spesso le altezze modulo una certa unità chiamata ambito (che indica l’estensione di una melodia, di una voce o di uno strumento, tra la nota più grave e quella più acuta). In particolare, qui ci concentriamo sul numero di ottave utilizzate per comporre la melodia: se tutte le note appartengono a un’ottava, cioè dodici note, lavoreremo «modulo 12», convenendo che il do valga 0. Qui lavoriamo in enarmonia, cioè identifichiamo un do diesis con un re bemolle, un re diesis con un mi bemolle…

Modellizzare eventi musicali ---------------------------------

Una melodia è dunque descritta dalla posizione delle note nella battuta e dalla loro altezza, modulo il numero di unità di tempo di una battuta e il numero di note nell’insieme delle ottave utilizzate. In matematica queste informazioni si modellizzano considerando le posizioni e le altezze delle note di una battuta come sottoinsiemi di un insieme «più grande», ossia l’insieme ℤ/nℤ degli interi modulo n. Nel nostro esempio, si prende n = 12 per indicare che si lavora in un’ottava, e n = 8 per indicare che l’unità di tempo scelta è la croma. Si ottengono così due strutture P e H, rispettivamente posizioni e altezze, che si possono poi combinare per ottenere una descrizione periodica (P, H) della battuta in termini di posizione e altezza delle note.

La modellizzazione delle battute permette di convertire un brano in una nuvola di punti, cioè un insieme di punti confrontabili mediante una distanza. Consideriamo uno spartito tratto da un brano musicale. Esso è naturalmente suddiviso mediante «battute», ciascuna descritta in (ℤ/tℤ)×(ℤ/hℤ), con t come unità di tempo e h come altezza con cui si desidera lavorare, ossia il numero di ottave moltiplicato per 12. Ogni battuta è quindi ridotta a un unico punto (P, H) della nuvola di punti finale. Per confrontarle, utilizziamo qui la trasformata discreta di Fourier. Essa fu introdotta dal compositore e teorico della musica David Lewin (1933‒2003) con lo scopo di caratterizzare strutture musicali usando, tra l’altro, la loro periodicità, misurata mediante coefficienti di Fourier. Sono proprio questi coefficienti che useremo per calcolare la distanza tra le battute di un brano musicale.

Se (P, H) è una battuta considerata modulo t e h e (x, y) è una nota di questa battuta, dove x ne rappresenta la posizione e y l’altezza, il coefficiente di Fourier associato è dato dalla formula seguente:

Per ogni nota si ottiene un coefficiente e, per un’intera battuta, una matrice, ossia una tabella, di coefficienti. Così, ogni spartito è suddiviso in battute alle quali si associano matrici di coefficienti di Fourier; poi si calcola la distanza tra le battute calcolando quella tra le matrici associate, cosa che avviene naturalmente mediante una norma scelta opportunamente. In questo modo si ottiene effettivamente una nuvola di punti a partire da uno spartito.

Topologia sugli spartiti --------------------------------------

Grazie alla modellizzazione precedente, possiamo convertire la musica in forme geometriche, più precisamente topologiche: filtrazioni di grafi. Un grafo è un insieme di vertici e archi, mentre una filtrazione è semplicemente una successione crescente di tali oggetti. Dato uno spartito, ogni vertice rappresenta una battuta e a ogni coppia di battute è associata una distanza mediante la trasformata di Fourier. Si ordinano quindi le distanze in ordine crescente e si aggiungono successivamente gli archi corrispondenti a ciascuna distanza, e dunque a ciascuna coppia di battute. Si può anche rendere più complessa la filtrazione, riempiendo alcuni triangoli, alcuni tetraedri… secondo una regola fissata, il che permette per esempio di aggiungere informazioni musicali. I grafi così ottenuti sono allora chiamati complessi simpliciali. La nuvola di punti costruita in precedenza si ottiene alla prima fase della filtrazione, che contiene dunque tante fasi quante sono le distanze diverse!

Una filtrazione di grafi associata a uno spartito.

La domanda che ora si pone è questa: come analizzare oggetti di questo tipo? A tal fine useremo strumenti topologici. La topologia è una branca della matematica che studia gli oggetti della vita quotidiana «a deformazione continua»: se immaginiamo una tazza di pongo, possiamo trasformarla in una ciambella, cosa che non potremo mai ottenere da un pallone da basket, il quale conserverà invece sempre la forma di una palla. In topologia, e più particolarmente in topologia algebrica, un lavoro importante consiste nel classificare gli oggetti associando loro firme topologiche; l’omologia è una di queste. Essa conta il «numero di buchi» o di «cicli» in tutte le dimensioni di uno stesso oggetto: per esempio, un triangolo vuoto possiede un buco in dimensione 1 e una sfera, anch’essa vuota, ne possiede uno in dimensione 2.

Nel nostro caso, l’obiettivo è misurare questo tipo di informazione in una filtrazione di grafi: in altre parole, si studia l’evoluzione dei cicli che si formano durante la filtrazione. Sono precisamente queste informazioni a costituire la nostra firma topologica. Questo si chiama omologia persistente, poiché ci interessiamo alle caratteristiche topologiche che «persistono» nel corso della filtrazione.

L’evoluzione dell’omologia in una filtrazione può essere facilmente rappresentata visivamente mediante grafici chiamati codici a barre: se un ciclo compare a un istante t della filtrazione, per esempio con un triangolo, e scompare al tempo t + n, per esempio quando il triangolo viene riempito, si traccia una barra di lunghezza n, i cui estremi sono dati rispettivamente dai punti di ascissa t e t + n. In altre parole, ogni barra misura esattamente la durata di vita dei cicli nel corso della filtrazione, riportando in ascissa il momento in cui essi compaiono e scompaiono. In breve, sono questi grafici a misurare le informazioni topologiche che desideriamo studiare nella nostra filtrazione.

L’omologia persistente e i codici a barre sono strumenti potenti nell’analisi topologica dei dati, ossia quando si desidera caratterizzare diversi oggetti iniziali mediante una firma topologica per analizzarli e confrontarli. Per esempio, possono servire in astronomia per classificare costellazioni oppure in medicina per confrontare aggregati di neuroni.

Qui proponiamo di usarla in un contesto un po’ diverso: quello dell’analisi musicale! Come fare in pratica? Il punto di partenza della tesi è stato capire come associare a uno spartito musicale una filtrazione di complessi simpliciali.

Una volta eseguito questo procedimento, lo scopo è studiare i codici a barre associati: ciò consentirà di analizzare gli spartiti e, più precisamente, di confrontarli.

In base allo stile musicale --------------------------------

Un problema molto comune nell’ambito delle applicazioni della matematica all’analisi musicale è quello della classificazione automatica dello stile: creare un algoritmo che riceva in ingresso uno spartito sotto forma di file MIDI ‒ per musical instrument digital interface ‒ e restituisca il genere musicale ‒ pop, rock, jazz…‒. Sebbene la tesi non abbia ancora permesso di ottenere risultati sistematici, offre prospettive promettenti in questa direzione: confrontando i codici a barre ottenuti per diversi brani, siamo riusciti a raggruppare artisti e compositori secondo lo stile degli spartiti studiati. Un’illustrazione del tipo di risultato così ottenuto è fornita dalla figura seguente: vi si trovano diversi cluster (insiemi) ottenuti confrontando il compositore Johann Sebastian Bach (1685‒1750) con diversi gruppi e artisti dei generi heavy metal, hard rock, pop e pop rock. Per Bach abbiamo studiato in tutto quarantacinque brani, classificati in tre stili: quindici preludi, quindici fughe e quindici corali. Per ogni artista abbiamo selezionato quindici brani della sua discografia. Nei grafici, ogni colore rappresenta un artista e ogni punto corrisponde a uno spartito dal quale è stato estratto un codice a barre. La legenda riporta statistiche calcolate direttamente sui codici a barre per confrontarli: la media delle lunghezze delle barre, la deviazione standard e l’entropia. Questo studio costituisce un primo passo verso la classificazione automatica dello stile musicale!

nel corso degli ultimi cinquant’anni.

Verso una grande base di dati -----------------------------------

Esistono molti metodi basati sulla matematica che consentono di comprendere meglio la musica, e i risultati qui presentati ne sono solo una piccolissima dimostrazione. Nell’ambito della classificazione resta ancora moltissimo lavoro da fare, anche solo per estendere il procedimento a stili musicali più vari, per esempio jazz o rap.

Ciò richiede più dati musicali da sfruttare e uno dei lavori della tesi è stato avviare la progettazione di una base di dati di file MIDI, disponibile alla pagina https://math-musique.pages.math.unistra.fr, in cui sono raccolti i documenti utilizzati e che permette così alla comunità di lavorare.

Nella tesi sono state affrontate altre applicazioni della topologia alla musica, per esempio legate al Tonnetz di Eulero o all’armonizzazione di canzoni pop. La matematica offre ancora molte applicazioni alla musica da scoprire ed esplorare!