Mi tesis en Tangente

Muchos fenómenos musicales presentan periodicidad, como la equivalencia de las octavas o la periodicidad rítmica. En matemáticas existen herramientas que permiten modelizar tales estructuras: las congruencias. Tomemos, por ejemplo, la melodía siguiente: cada nota musical que compone este compás puede caracterizarse por su posición y su altura, representadas respectivamente por el eje horizontal y el eje vertical.

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La posición de la nota corresponde al momento en que aparece en el compás, es decir, al momento en que se toca: la primera nota —el do— aparece en el tiempo 0; después, se divide el tiempo según una unidad bien elegida y se asigna un número a cada una de las notas siguientes. Por lo general, esta unidad de tiempo se elige según la duración más breve, aquí la corchea, de modo que la negra cuenta como 2, la negra con puntillo como 3, etc. Así, contamos ocho tiempos en el compás, lo que significa que trabajamos «módulo 8».

Del mismo modo, se asigna a cada nota una altura, que corresponde en cierto modo al «valor» de la nota tocada —en términos de frecuencias—. En análisis musical, las alturas suelen considerarse módulo una determinada unidad llamada ámbito —que designa la extensión de una melodía, una voz o un instrumento, entre su nota más grave y su nota más aguda—. En particular, aquí nos centramos en el número de octavas utilizado para componer la melodía: si todas las notas se encuentran en una octava —doce notas—, trabajaremos «módulo 12», con la convención de que el do vale 0. Aquí trabajamos en enarmonía, es decir, identificamos un do sostenido con un re bemol, un re sostenido con un mi bemol…

Modelizar acontecimientos musicales ---------------------------------

Una melodía queda así descrita por la posición de las notas en el compás y por su altura, consideradas módulo el número de unidades de tiempo de un compás y el número de notas del conjunto de las octavas utilizadas. En matemáticas, esta información se modeliza considerando las posiciones y las alturas de las notas de un compás como subconjuntos de un conjunto «mayor», a saber, el conjunto ℤ/nℤ de los enteros módulo n. En nuestro ejemplo, tomamos n = 12 para indicar que trabajamos en una octava, y n = 8 para indicar que la unidad de tiempo elegida es la corchea. Obtenemos así dos estructuras P y H —posiciones y alturas—, que podemos combinar para obtener una descripción periódica (P, H) del compás en términos de posición y altura de las notas.

La modelización de los compases permite convertir una obra en una nube de puntos, es decir, un conjunto de puntos que pueden compararse mediante una distancia. Consideremos una partitura procedente de una obra musical. Está dividida naturalmente mediante «compases», cada uno descrito en (ℤ/tℤ)×(ℤ/hℤ), donde t es una unidad de tiempo y h la altura con la que se desea trabajar —es decir, el número de octavas multiplicado por 12—. Cada compás queda así reducido a un único punto (P, H) de la nube de puntos final. Para compararlos, utilizamos aquí la transformada discreta de Fourier. Esta fue introducida por el compositor y teórico de la música David Lewin (1933‒2003), con el fin de caracterizar estructuras musicales utilizando, entre otras cosas, su periodicidad, medida mediante coeficientes de Fourier. Son esos mismos coeficientes los que utilizaremos para calcular la distancia entre los compases de una obra musical.

Si (P, H) es un compás módulo t y h, y (x, y) una nota de ese compás —con x como posición y y como altura—, el coeficiente de Fourier asociado viene dado por la fórmula siguiente:

Para cada nota obtenemos un coeficiente y, para un compás completo, una matriz —una tabla— de coeficientes. Así, cada partitura se divide en compases a los que se asocian matrices de coeficientes de Fourier; después se calcula la distancia entre los compases calculando la distancia entre las matrices asociadas, lo que se hace de manera natural con ayuda de una norma bien elegida. Así es como obtenemos una nube de puntos a partir de una partitura.

Topología en las partituras --------------------------------------

Con ayuda de la modelización anterior, podremos convertir la música en formas geométricas, más concretamente topológicas: las filtraciones de grafos. Un grafo es un conjunto de vértices y aristas, y una filtración es simplemente una sucesión creciente de tales objetos. Dada una partitura, cada vértice representa un compás y, a cada pareja de compases, se le asocia una distancia mediante la transformada de Fourier. A continuación, se ordenan las distancias de menor a mayor y se añaden sucesivamente las aristas correspondientes a cada distancia —y, por tanto, a cada pareja de compases—. También puede hacerse más compleja la filtración rellenando ciertos triángulos, ciertos tetraedros… según una regla fijada, lo que permite, por ejemplo, añadir información musical. Los grafos obtenidos de este modo se denominan complejos simpliciales. La nube de puntos construida anteriormente aparece en la primera etapa de la filtración, que contiene por tanto tantas etapas como distancias diferentes.

Una filtración de grafos asociada a una partitura.

La cuestión que se plantea ahora es la siguiente: ¿cómo analizar tales objetos? Para ello utilizaremos herramientas topológicas —la topología es una rama de las matemáticas que estudia los objetos cotidianos «salvo deformación»: si imaginamos una taza hecha de plastilina, podemos transformarla en un dónut, cosa que nunca conseguiremos con un balón de baloncesto, que, en cambio, siempre tendrá forma de pelota—. En topología, y más particularmente en topología algebraica, una tarea importante consiste en clasificar los objetos asignándoles firmas topológicas; la homología es una de ellas. Esta cuenta el «número de agujeros» o «bucles» en todas las dimensiones de un mismo objeto: por ejemplo, un triángulo vacío tiene un agujero en dimensión 1 y una esfera —también vacía— tiene uno en dimensión 2.

En nuestro caso, el objetivo es medir este tipo de información en una filtración de grafos: dicho de otro modo, estudiamos la evolución de los bucles que se forman durante la filtración. Precisamente esa información constituye nuestra firma topológica. A esto lo llamamos homología persistente, porque nos interesan las características topológicas que «persisten» durante la filtración.

La evolución de la homología en una filtración puede representarse fácilmente de forma visual mediante gráficos llamados códigos de barras: si aparece un bucle en un momento t de la filtración, por ejemplo con un triángulo, y ese bucle desaparece en el instante t + n —por ejemplo, si se rellena el triángulo—, se traza una barra de longitud n, cuyos extremos vienen dados respectivamente por los puntos de abscisas t y t + n. Dicho de otro modo, cada barra mide exactamente la duración de los bucles durante la filtración, y sus abscisas indican el momento en que esos bucles aparecen y desaparecen. En resumen, estos gráficos miden la información topológica que queremos estudiar en nuestra filtración.

La homología persistente y los códigos de barras son herramientas potentes en el análisis topológico de datos, es decir, cuando se desea caracterizar varios objetos iniciales mediante una firma topológica para analizarlos y compararlos. Por ejemplo, puede utilizarse en astronomía para clasificar constelaciones o en medicina para comparar conjuntos de neuronas.

Aquí proponemos utilizarla en un contexto algo distinto: ¡el del análisis musical! ¿Cómo hacerlo en la práctica? El punto de partida de la tesis fue comprender cómo asociar una filtración de complejos simpliciales a una partitura musical.

Una vez realizado este procedimiento, el objetivo es estudiar los códigos de barras asociados: esto permitirá analizar las partituras y, en particular, compararlas.

Según el estilo musical --------------------------------

Un problema muy habitual en el ámbito de las matemáticas aplicadas al análisis musical es el de la clasificación automática del estilo —crear un algoritmo que reciba como entrada una partitura en forma de archivo MIDI, por musical instrument digital interface, y devuelva el género musical: pop, rock, jazz…—. Aunque la tesis aún no ha permitido obtener resultados sistemáticos, ofrece vías prometedoras en esta dirección: al comparar los códigos de barras obtenidos para varias obras, hemos podido agrupar artistas y compositores según el estilo de las partituras estudiadas. La figura siguiente ilustra el tipo de resultado obtenido: muestra distintos clústeres —conjuntos— obtenidos al comparar al compositor Johann Sebastian Bach (1685‒1750) con distintos grupos y artistas de los géneros heavy metal, hard rock, pop y pop rock. De Bach estudiamos cuarenta y cinco obras en total, clasificadas en tres estilos: quince preludios, otras quince fugas y los quince últimos son corales. Para cada artista seleccionamos quince obras de su discografía. En los gráficos, cada color representa a un artista y cada punto corresponde a una partitura de la que se ha extraído un código de barras. En la leyenda se recogen estadísticas calculadas directamente sobre los códigos de barras para compararlos: la media de las longitudes de las barras, la desviación típica y la entropía. ¡Este estudio constituye un primer paso hacia la clasificación automática del estilo musical!

durante los últimos cincuenta años.

Hacia una gran base de datos -----------------------------------

Existen muchos métodos basados en las matemáticas que permiten comprender mejor la música, y los resultados aquí presentados no son más que una pequeñísima muestra. En el ámbito de la clasificación queda aún muchísimo trabajo por hacer, aunque solo sea para ampliar el procedimiento a estilos musicales más variados —por ejemplo, jazz o rap—.

Esto implica disponer de más datos musicales que explotar, y uno de los trabajos de la tesis ha consistido en iniciar el diseño de una base de datos de archivos MIDI —disponible en la página https://math-musique.pages.math.unistra.fr—, en la que se agrupan los documentos utilizados y que permite así que la comunidad trabaje.

En la tesis se abordaron otras aplicaciones de la topología a la música, por ejemplo en relación con el Tonnetz de Euler o con la armonización de canciones pop. ¡Las matemáticas aún ofrecen muchas aplicaciones musicales por descubrir y explorar!