Contare i poliedri regolari
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Quanti poliedri regolari sono possibili? A questa domanda si risponde con grande semplicità grazie alla formula di Eulero!
Un poliedro è regolare se tutte le sue facce sono poligoni regolari (con p lati) e se in ogni vertice convergono lo stesso numero q di facce. Ogni faccia fornisce p lati, che si raggruppano a due a due per formare A = p (F / 2) spigoli. In ogni vertice si incontrano q spigoli, dunque A = q (S / 2); non dimentichiamo che uno spigolo ha due estremità. Sostituiamo nella formula di Eulero F + S = A + 2 le espressioni di S e F in funzione di A; otteniamo 2A / p + 2A / q = A + 2. Raccogliamo e riduciamo allo stesso denominatore; si ottiene A (2p + 2q – pq) / pq = 2. Aggiungiamo e sottraiamo 4 nella parentesi, ottenendo A (4 – (p – 2)(q – 2)) / pq = 2.
Poiché A, p e q sono numeri interi strettamente positivi, una relazione di questo tipo è possibile solo se (p – 2)(q – 2) < 4. Inoltre, dato che p ≥ 3 e q ≥ 3, gli unici casi ammissibili sono i seguenti:
| p | q | Poliedro | A | S | F |
|---|---|---|---|---|---|
| 3 | 3 | Tetraedro | 6 | 4 | 4 |
| 3 | 4 | Ottaedro | 12 | 6 | 8 |
| 3 | 5 | Icosaedro | 30 | 12 | 20 |
| 4 | 3 | Cubo | 12 | 8 | 6 |
| 5 | 3 | Dodecaedro | 30 | 20 | 12 |
L’aritmetica ci fornisce così cinque possibili poliedri regolari. I vincoli geometrici non riducono questo insieme: esistono dunque proprio cinque solidi di questo tipo, detti platonici.
Il cubo (in viola), il dodecaedro (in rosso), l’icosaedro (in giallo),
il tetraedro (in verde) e l’ottaedro (in blu).
La formula di Eulero–Poincaré–Schläfli
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Henri Poincaré e Ludwig Schläfli riuscirono a generalizzare la formula di Eulero, valida nello spazio di dimensione 3, a qualunque d-politopo, cioè a qualunque poliedro convesso limitato di dimensione d (ossia un’intersezione di un numero finito di semispazi chiusi nello spazio a d dimensioni). Questa generalizzazione fornisce, per un d-politopo P, una relazione tra i numeri delle k-facce (per 0 ≤ k ≤ d – 1) di P. Vale infatti la seguente elegante formula, in cui *fk (P) indica il numero delle k*-facce di P:
Quando d = 2, P non è altro che un poligono convesso; le sue 0-facce sono i vertici e le sue 1-facce coincidono con i lati. La formula, che si scrive f0 (P) = f1 (P), indica che P ha tanti vertici quanti lati.
Per d = 3, ritroviamo la formula di Eulero: S = f0(P), A = f1 (P) e F = f2 (P).
Per d = 4, la somma del numero di vertici e del numero di facce piane è uguale alla somma del numero di spigoli e del numero di facce tridimensionali. Questo risultato si può verificare sui sei tipi di 4-politopi regolari (i policori), analoghi dei poligoni regolari in dimensione 2 e dei solidi platonici in dimensione 3. Poiché ogni policoro è imparentato con un poliedro regolare (tranne l’ipergranatoedro, o 24-celle), il suo nome si forma anteponendo il prefisso «iper» al nome del poliedro corrispondente.
| Policoro | Numero di vertici (k = 0) | Numero di spigoli (k = 1) | Numero di 2-facce (k = 2) | Numero di 3-facce (k = 3) |
|---|---|---|---|---|
| Ipertetraedro | 5 | 10 | 10 (triangoli) | 5 (tetraedri) |
| Ipercubo | 16 | 32 | 24 (quadrati) | 8 (cubi) |
| Iperottaedro | 8 | 24 | 32 (triangoli) | 16 (tetraedri) |
| Ipergranatoedro | 24 | 96 | 96 (triangoli) | 24 (ottaedri) |
| Iperdodecaedro | 600 | 1 200 | 720 (pentagoni) | 120 (dodecaedri) |
| Ipericosaedro | 120 | 720 | 1 200 (triangoli) | 600 (tetraedri) |
L’iperpiano di Eulero
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Si può dare un’elegante interpretazione geometrica della formula di Euler–Poincaré–Schläfli ricorrendo al vettore f (P) = ( f0 (P), f1 (P), f2 (P)… *fd*–1(P)), detto vettore f associato a P, e all’iperpiano di Eulero H definito dall’equazione
Gli f-vettori di tutti i d-politopi si trovano in H, ma non appartengono tutti a uno stesso sottospazio di dimensione inferiore a d – 1.
Così, nello spazio di dimensione 3 (dove x0 = x, x1 = y e x2 = z), H è il piano di equazione x – y + z = 2; tutti gli f-vettori appartengono a questo piano, ma non sono tutti contenuti in una stessa retta. Nello spazio di dimensione 4 (dove le coordinate dei punti sono spesso indicate con x, y, z e t), gli f-vettori di tutti i 4-politopi appartengono al sottospazio tridimensionale definito dall’equazione x + z = y + t, ma non si trovano tutti in uno stesso piano.
