Contar los poliedros regulares
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¿Cómo determinar cuántos poliedros regulares son posibles? ¡Esta pregunta se resuelve muy fácilmente con la fórmula de Euler!
Un poliedro es regular si todas sus caras son polígonos regulares (con p lados) y si en cada vértice concurren q caras. Cada cara aporta p lados, que se agrupan de dos en dos para formar A = p (F / 2) aristas. En cada vértice concurren q aristas, por lo que A = q (S / 2) ; no olvidemos que una arista tiene dos extremos. Sustituyamos S y F por sus expresiones en función de A en la fórmula de Euler F + S = A + 2 ; obtenemos 2A / p + 2A / q = A + 2. Factoricemos y reduzcamos a común denominador ; resulta A (2p + 2q – pq) / pq = 2. Sumemos y restemos 4 dentro del paréntesis para obtener A (4 – (p – 2)(q – 2)) / pq = 2.
Puesto que A, p y q son números enteros estrictamente positivos, tal relación solo es posible si (p – 2)(q – 2) < 4. Además, puesto que p ≥ 3 y q ≥ 3, los únicos casos admisibles son los siguientes:
| p | q | Poliedro | A | S | F |
|---|---|---|---|---|---|
| 3 | 3 | Tetraedro | 6 | 4 | 4 |
| 3 | 4 | Octaedro | 12 | 6 | 8 |
| 3 | 5 | Icosaedro | 30 | 12 | 20 |
| 4 | 3 | Cubo | 12 | 8 | 6 |
| 5 | 3 | Dodecaedro | 30 | 20 | 12 |
La aritmética nos proporciona así cinco poliedros regulares posibles. Las restricciones geométricas no reducen este conjunto: existen, por tanto, cinco sólidos platónicos, llamados platónicos.
El cubo (en violeta), el dodecaedro (en rojo), el icosaedro (en amarillo),
el tetraedro (en verde) y el octaedro (en azul).
La fórmula de Euler–Poincaré–Schläfli
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Henri Poincaré y Ludwig Schläfli lograron generalizar la fórmula de Euler, válida en el espacio de dimensión 3, a todo politopo de dimensión d, es decir, a todo poliedro convexo acotado de dimensión d (una intersección acotada de un número finito de semiespacios cerrados en un espacio de d dimensiones). Esta generalización proporciona, para un politopo P de dimensión d, una relación entre los números de caras de dimensión k (para 0 ≤ k ≤ d – 1) de P. Se obtiene así esta elegante fórmula, en la que *fk (P) denota el número de k*-caras de P:
Cuando d = 2, P no es sino un polígono convexo; sus 0-caras son sus vértices y sus 1-caras coinciden con sus lados. La fórmula, que se escribe f0 (P) = f1 (P), indica que P tiene tantos vértices como lados.
Para d = 3, se obtiene la fórmula de Euler: S = f0(P), A = f1 (P) y F = f2 (P).
Para d = 4, la suma del número de vértices y del número de caras bidimensionales es igual a la suma del número de aristas y del número de caras tridimensionales. Este resultado puede comprobarse en los seis tipos de politopos regulares de dimensión 4 (los policoros), análogos a los polígonos regulares en dimensión 2 o a los sólidos platónicos en dimensión 3. Como cada policoro está emparentado con un poliedro regular —salvo el hipergranatoedro, o 24-celda—, su nombre se forma anteponiendo el prefijo «hiper» al nombre del poliedro correspondiente.
| Policoro | Número de vértices (k = 0) | Número de aristas (k = 1) | Número de caras de dimensión 2 (k = 2) | Número de caras de dimensión 3 (k = 3) |
|---|---|---|---|---|
| Hipertetraedro | 5 | 10 | 10 (triángulos) | 5 (tetraedros) |
| Hipercubo | 16 | 32 | 24 (cuadrados) | 8 (cubos) |
| Hiperoctaedro | 8 | 24 | 32 (triángulos) | 16 (tetraedros) |
| Hipergranatoedro | 24 | 96 | 96 (triángulos) | 24 (octaedros) |
| Hiperdodecaedro | 600 | 1 200 | 720 (pentágonos) | 120 (dodecaedros) |
| Hipericosaedro | 120 | 720 | 1 200 (triángulos) | 600 (tetraedros) |
El hiperplano de Euler
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Puede darse una elegante interpretación geométrica de la fórmula de Euler–Poincaré–Schläfli recurriendo al vector f (P) = ( f0 (P), f1 (P), f2 (P)… *fd*–1(P)), llamado vector f asociado a P, y al hiperplano de Euler H definido por la ecuación
Los f-vectores de todos los politopos de dimensión d pertenecen a H, pero no todos pertenecen a un mismo subespacio de dimensión inferior a d – 1.
Así, en el espacio de dimensión 3 (donde x0 = x, x1 = y y x2 = z), H es el plano de ecuación x – y + z = 2; todos los f-vectores pertenecen a este plano, pero no todos están contenidos en una misma recta. En el espacio de dimensión 4 (donde las coordenadas de los puntos suelen denotarse por x, y, z y t), los f-vectores de todos los politopos de dimensión 4 pertenecen al subespacio tridimensional definido por la ecuación x + z = y + t, pero no están situados en un mismo plano.
