Les coniques n'ont pas toujours la même apparence. Celles qu'on leur connaît sont dans le plan habituel, le plan euclidien avec la distance qu'on peut qualifier « à vol d'oiseau ». Mais à quoi ressembleraient-elles avec une autre distance ?
Imaginons une ville dont tous les pâtés d'habitations seraient carrés, et où on circulerait par des rues orientées Est-Ouest et par des avenues orientées Nord-Sud. Dans cette ville, les distances minimales d'un point à un autre n'auraient pas grand-chose à voir avec celles d'un plan euclidien. Désignons cette sorte de distance par l'expression taxi-distance qui évoque la distance minimale que parcourrait un taxi pour se déplacer d'un premier point à un second. Le plan muni de cette distance est appelé taxi-plan. Dans un de ses ouvrages, le ludologue américain Martin Gardner indique que le mathématicien allemand Hermann Minkowski aurait sérieusement étudié une telle géométrie dans sa jeunesse. On peut retrouver cette distance et d'autres dans Les distances, un outil pour tout mesurer, (Bibliothèque Tangente 81, POLE, 2023).
Une première remarque est que si deux points sont situés dans la même rue ou dans la même avenue, la circulation se faisant dans les deux sens, pour se rendre de l'un à l'autre, on est dans le même cas que dans un banal plan euclidien. En revanche, cela se complique dès que deux points ne sont pas sur un même axe routier. Contrairement à ce que l'on connaît dans le plan euclidien avec la « ligne droite », il existe alors plusieurs chemins possibles minimisant la distance entre les deux points.
Dans ce quartier, de à , il existe un seul chemin de longueur minimale. En revanche, pour aller de à , il y a trois chemins différents qui sont de longueur minimale.
