Histoire et cultureNotion · Glossaire
Almansi Emilio
Emilio Almansi (1869–1948) est un physicien et mathématicien italien né à Florence. Après des études à Turin, où il obtient un diplôme d'ingénieur en 1893 puis une thèse de mathématiques en 1899, il devient l'assistant de Vito Volterra. Il enseigne ensuite à l'Université de Pavie, de 1903 à 1910, puis la mécanique rationnelle à l'Université La Sapienza de Rome, de 1912 à 1922. Ses travaux relient la géométrie différentielle à la théorie mathématique de l'élasticité, notamment pour les grandes déformations. Son nom est associé au tenseur d'Almansi-Euler, une mesure de la déformation formulée dans la configuration actuelle.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Situer Emilio Almansi par ses études, ses fonctions et ses domaines de recherche.
- Lire la formule du tenseur d'Almansi-Euler avec ses notations.
- Recalculer la composante obtenue lorsqu'une longueur de 10 cm devient 15 cm.
- Distinguer la référence eulérienne d'autres mesures de déformation et connaître les limites de la formule.
En clair
Imaginez une règle souple que l'on étire. Pour décrire la déformation, on peut regarder les distances entre les points après l'étirement, depuis la forme devenue visible. Cette façon de mesurer est dite eulérienne : elle se place du côté de la configuration actuelle.
Le tenseur d'Almansi-Euler rassemble dans un même objet les allongements et les changements d'angle observés dans un solide déformé. Il est particulièrement adapté aux grandes déformations, lorsque la forme finale s'écarte nettement de la forme de départ.
Définition
Le tenseur des déformations d'Almansi-Euler est une mesure de la déformation formulée dans la configuration actuelle d'un corps. Un tenseur est un objet mathématique qui organise les composantes d'une grandeur selon les directions choisies. La description eulérienne décrit les champs et les grandeurs dans la configuration actuelle, contrairement à une description qui prend la configuration initiale comme référence.
Soit F le gradient de la déformation, c'est-à-dire la transformation locale des petits vecteurs matériels, et soit b = FFT le tenseur de déformation gauche de Cauchy-Green. Le tenseur d'Almansi-Euler e s'écrit alors :
I désigne le tenseur identité et b−1 l'inverse de b, qui doit donc être inversible. Cette mesure décrit les déformations élastiques ou géométriques locales lorsque les transformations restent suffisamment régulières. Elle est liée à la géométrie différentielle et à la théorie mathématique de l'élasticité, notamment pour les grandes déformations.
Un exemple, pas à pas
Considérons un étirement uniforme dans une direction. Une longueur initiale de 10 cm devient une longueur actuelle de 15 cm, tandis que les directions perpendiculaires restent inchangées. Le facteur d'étirement dans la direction étudiée est donc λ = 15/10 = 3/2.
Dans ce cas, le tenseur b possède la valeur λ2 = 9/4 sur la direction étirée. La composante correspondante du tenseur d'Almansi-Euler vaut donc :
Le résultat exact est 5/18, soit environ 0,2778 en écriture décimale. La valeur est positive parce que la longueur actuelle de 15 cm dépasse la longueur initiale de 10 cm. Le calcul utilise la longueur actuelle comme point de vue, ce qui caractérise la mesure d'Almansi-Euler.
En pratique
En mécanique des solides, cette mesure sert à décrire localement ce qui arrive à un matériau après sa transformation. Les données peuvent venir de la position actuelle de points observés ou calculés, puis être rassemblées dans le tenseur de déformation.
Pour l'étirement de 10 cm à 15 cm, le résultat 5/18 indique une déformation positive dans la direction concernée. Il ne s'agit pas d'un allongement en centimètres : c'est une composante sans unité, construite à partir d'un rapport de longueurs au carré.
À ne pas confondre
Le tenseur d'Almansi-Euler ne se confond pas avec le tenseur de déformation infinitésimale. Ce dernier est une approximation valable lorsque les gradients du déplacement sont petits ; elle ne décrit donc pas correctement une rotation rigide finie, dont la déformation exacte est nulle. La mesure d'Almansi-Euler tient compte de la configuration actuelle et convient donc à l'étude de grandes déformations.
Il ne faut pas non plus le confondre avec le tenseur de Green-Lagrange. Les deux mesures décrivent la déformation, mais Green-Lagrange est formulé par rapport à la configuration initiale, tandis qu'Almansi-Euler est formulé par rapport à la configuration actuelle. Le choix dépend donc de la configuration prise comme référence, et non d'un simple changement de repère de coordonnées.
Limites et pièges
La formule suppose que le gradient F décrit localement une transformation régulière et que b est inversible. Une transformation qui écrase complètement une direction rendrait b singulier : b−1 ne serait alors pas défini, et la formule ne pourrait pas être appliquée telle quelle.
Une rotation rigide peut changer l'orientation des axes sans changer les distances internes. Elle ne doit donc pas être interprétée comme un étirement par le seul examen de la position des axes. La mesure de déformation doit porter sur les longueurs et les angles relatifs, pas sur le mouvement global du corps.
Enfin, le tenseur ne donne pas à lui seul une loi complète de comportement du matériau. Pour prévoir une contrainte ou une récupération élastique, il faut encore un modèle mécanique et ses paramètres. Ici, le tenseur mesure la géométrie de la déformation ; il ne remplace pas cette modélisation.
Pour aller plus loin
Le tenseur d'Almansi-Euler s'inscrit dans une famille de mesures de déformation qui changent selon la configuration choisie comme référence. Cette idée relie une question de mécanique — mesurer une grande transformation — à une question de géométrie différentielle : comparer localement des longueurs et des angles sur une forme courbe ou déformée.
Pour prolonger cette lecture, le glossaire présente le tenseur comme objet mathématique général et la différentielle comme outil de description locale. L'article La géométrie de l'information offre également un autre exemple de l'emploi de la géométrie différentielle pour organiser des informations locales.
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