anguinéa

Imaginez un tracé qui passe par le centre d'un repère, monte d'un côté, redescend après un sommet, puis présente le même mouvement en dessous. Cette silhouette évoque un serpent. L'anguinéa est la courbe algébrique qui produit ce tracé lorsque la hauteur y dépend de la position horizontale x selon une fraction. Le nombre a règle l'amplitude, tandis que, pour b ≠ 0, b agit sur l'échelle horizontale et modifie aussi l'amplitude verticale, dont le maximum vaut a/(2|b|). Le signe de a choisit l'orientation de la courbe.

Une anguinea est une cubique plane, c'est-à-dire une courbe dont une équation cartésienne est une équation polynomiale de degré total exactement trois, sous réserve des cas dégénérés. Dans un repère, sa forme de référence s'écrit avec x pour l'abscisse, y pour l'ordonnée, a pour un paramètre positif et b pour un paramètre réel :

La forme implicite obtenue en multipliant par le dénominateur est y(x² + b²) = ax. Pour b ≠ 0, cette équation est équivalente à la forme fractionnaire et le dénominateur reste strictement positif : la courbe est définie pour tout x et elle passe par l'origine. Avec a > 0 et b > 0, elle monte jusqu'à un maximum, puis redescend vers l'axe horizontal quand x devient grand ; sa partie négative est l'image de la partie positive par symétrie centrale. Le cas b = 0 est dégénéré : la formule n'est plus définie en x = 0, tandis que l'équation implicite devient x(xy − a) = 0 et ajoute toute la droite x = 0 ; elle ne donne donc pas la même courbe serpentine régulière.

On étudie l'anguinéa définie par a = 4 et b = 2. Les deux paramètres sont positifs, ce qui donne la branche serpentine usuelle. Pour repérer son sommet supérieur, on examine la pente de la courbe.

Données : a = 4, b = 2, donc b² = 4.

La dérivée s'annule lorsque x² = b², donc lorsque x = 2 sur la branche positive.

À x = 2, la hauteur vaut y = 4 × 2 / (2² + 2²) = 8 / 8 = 1.

Le sommet supérieur est donc le point (2 ; 1). Par symétrie centrale, le point remarquable inférieur est (-2 ; -1). Un contrôle direct consiste à remplacer x par 2 dans la formule : on retrouve bien y = 1.

Pour tracer l'exemple a = 4 et b = 2, on place d'abord l'origine, puis quelques points calculés avec y = 4x / (x² + 4). Les points (2 ; 1) et (-2 ; -1) servent de repères pour vérifier l'échelle verticale.

Pour comparer deux anguineas, on observe séparément leur amplitude et leur étirement horizontal. Le calcul des coordonnées est préférable à une comparaison visuelle lorsque les repères n'ont pas la même échelle.

Pour étudier une valeur donnée de x, on vérifie d'abord que le dénominateur n'est pas nul, puis on effectue la division. Avec b = 2, cette vérification est automatique pour tout x réel.

L'anguinéa ne se confond pas avec une hyperbole. Dans l'exemple a = 4 et b = 2, le dénominateur x² + 4 ne s'annule jamais et la courbe passe par l'origine ; une hyperbole de type 1 / x est, elle, interrompue en x = 0.

Elle ne se confond pas non plus avec une sinusoïde. Le mot « serpentine » décrit une silhouette, mais l'anguinéa est donnée par une fraction rationnelle, sans oscillations périodiques répétées.

Le paramètre b ne peut pas être traité comme une simple largeur lorsque b = 0. Le dénominateur devient x² : la formule n'est alors pas définie en x = 0, et l'on perd la courbe régulière qui passe par l'origine. Il faut donc distinguer ce cas avant de parler de la forme serpentine usuelle.

Le maximum de hauteur ne se lit pas au point x = a. Pour b ≠ 0, il se situe sur la branche positive à x = |b| lorsque a > 0, et sa hauteur vaut a / (2|b|). Dans l'exemple a = 4 et b = 2, cela donne x = 2 et y = 1.

Enfin, les mots « forme de serpent » ne constituent pas une définition suffisante. Une courbe dessinée à main levée peut suggérer l'allure sans respecter l'équation ; il faut contrôler au moins le passage par l'origine et les coordonnées calculées.

Pour prolonger l'étude, on peut partir de la forme implicite y(x² + b²) = ax et observer qu'elle est une équation polynomiale de degré total trois. Pour b ≠ 0, elle décrit la même courbe que la forme fractionnaire ; pour b = 0, elle ajoute la droite x = 0 et correspond donc à un cas dégénéré. Cette écriture relie directement l'allure visible de la courbe à sa nature de cubique plane, tandis que la forme fractionnaire facilite le calcul de ses coordonnées.