GéométrieNotion · Glossaire
axiomes d'ordre
Les axiomes d'ordre sont le deuxième groupe de l'axiomatique de Hilbert. Ces quatre axiomes formalisent la relation « être entre » deux points alignés, afin de décrire l'ordre des points et l'intérieur d'un segment sans mesurer les longueurs. L'axiome de Pasch précise que, dans le plan d'un triangle, une droite qui coupe un côté sans passer par un sommet coupe aussi l'un des deux autres côtés.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Définir la relation d'entre et le segment.
- Distinguer les quatre axiomes et leurs hypothèses.
- Reconnaître l'application de l'axiome de Pasch dans un triangle.
En clair
Sur une feuille, trois points peuvent être alignés. On peut alors regarder lequel se trouve au milieu des deux autres : ce point est « entre » eux. Les axiomes d'ordre transforment cette observation en règles précises pour toute droite. Ils disent aussi comment prolonger un segment et ce qui se passe lorsqu'une droite traverse un triangle.
Ces règles ne mesurent pas de longueurs. Elles organisent la position des points : elles distinguent les extrémités d'un segment, son intérieur et le passage d'une droite d'un côté d'un triangle à un autre.
Définition
Les axiomes d'ordre sont le deuxième groupe de l'axiomatique de Hilbert. Ils introduisent une relation d'entre sur une droite : lorsqu'un point B est entre A et C, les trois points sont colinéaires, c'est-à-dire situés sur une même droite. La relation est symétrique pour les extrémités : B est également entre C et A.
Pour deux points distincts A et C, le deuxième axiome garantit l'existence d'au moins un point B sur la droite AC tel que C soit entre A et B. Le troisième axiome impose qu'entre trois points alignés, au plus un point soit entre les deux autres. Un segment AB est alors l'ensemble des points situés entre A et B sur la droite qui passe par A et B, extrémités A et B comprises.
Le quatrième axiome, appelé axiome de Pasch, concerne un triangle ABC dans son plan. Si une droite d coupe le côté AB sans passer par A, B ou C, elle coupe aussi l'un des deux autres côtés. Il formalise la continuité du passage d'une droite à travers la figure, sans faire intervenir une mesure de distance.
Un exemple, pas à pas
Considérons un triangle ABC et une droite d située dans son plan. La droite d coupe le côté AB en un point qui n'est ni A ni B, et elle ne passe pas par C.
Les données sont les suivantes :
• les sommets sont A, B et C ;
• le côté observé est AB ;
• le point d'intersection avec AB est intérieur au côté ;
• la droite d ne passe par aucun sommet.
• les sommets sont A, B et C ;
• le côté observé est AB ;
• le point d'intersection avec AB est intérieur au côté ;
• la droite d ne passe par aucun sommet.
La première étape consiste à constater que d coupe AB sans passer par ses extrémités.
La deuxième étape consiste à vérifier que d ne passe pas par C.
La troisième étape applique l'axiome de Pasch : d coupe AC ou BC.
Le résultat est donc l'existence d'une seconde intersection avec l'un des deux autres côtés du triangle.
La deuxième étape consiste à vérifier que d ne passe pas par C.
La troisième étape applique l'axiome de Pasch : d coupe AC ou BC.
Le résultat est donc l'existence d'une seconde intersection avec l'un des deux autres côtés du triangle.
Le contrôle est refaisable dans la représentation : après avoir repéré l'intersection intérieure avec AB, on suit d dans le plan du triangle et l'on vérifie qu'elle rencontre AC ou BC avant de sortir du triangle.
En pratique
En géométrie synthétique, ces axiomes servent à raisonner sur l'intérieur d'un segment et sur l'ordre des points sans choisir de coordonnées. Pour savoir si un point appartient au segment AB, on vérifie qu'il est entre A et B sur la droite AB.
Dans une figure triangulaire, on utilise l'axiome de Pasch lorsqu'une droite traverse un côté. Le geste consiste à rechercher son intersection avec AC ou BC, plutôt qu'à supposer qu'elle s'arrête après le premier côté.
Pour une représentation analytique, une droite graduée peut remplacer le dessin. Le critère observable devient alors l'ordre des coordonnées : une coordonnée située entre celles de A et de B décrit un point intérieur au segment, à condition que les points soient sur la même droite.
À ne pas confondre
Les axiomes d'ordre ne sont pas les axiomes d'incidence. Le critère qui les sépare est la question posée : l'incidence établit quels points appartiennent à une droite, tandis que la relation d'entre organise la position de points déjà alignés. Pour le triangle ABC, savoir que A et B déterminent le côté AB relève de l'incidence ; savoir qu'une intersection est intérieure à AB relève de l'ordre.
Ils ne se confondent pas non plus avec une distance. Une distance compare des longueurs et peut être nulle seulement pour des points confondus dans le cadre usuel ; la relation d'entre indique une position relative. Deux configurations peuvent avoir des longueurs différentes tout en présentant le même ordre des points.
Limites et pièges
Un point entre A et C doit appartenir à la droite AC. Si trois points ne sont pas colinéaires, parler d'un point situé entre les deux autres n'est pas une application de cette relation. Le bon réflexe consiste à vérifier l'alignement avant d'invoquer un axiome d'ordre.
Le troisième axiome dit « au plus un », et non « exactement un ». Pour trois points alignés, il ne garantit donc pas qu'un point soit effectivement entre les deux autres. Il faut vérifier la configuration avant de conclure.
L'axiome de Pasch exige que la droite coupe un côté d'un triangle sans passer par un sommet. Si elle passe par A, B ou C, l'hypothèse n'est plus satisfaite et la conclusion ne peut pas être tirée directement. Il faut traiter cette configuration particulière séparément.
Pour aller plus loin
Pour prolonger cette lecture, la fiche Axiome de Pasch isole le quatrième axiome et permet d'examiner plus précisément le passage d'une droite à travers un triangle.
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