axiome de Pasch

Imaginez un triangle tracé sur une feuille et une droite qui entre dans son intérieur en traversant un côté, sans viser un sommet. Pour ressortir du triangle, cette droite doit traverser l'un des deux autres côtés. L'axiome de Pasch donne un statut précis à cette évidence visuelle : il relie la notion de point situé entre deux autres points à la façon dont une droite traverse un triangle.

L'axiome de Pasch est un axiome d'ordre : il porte sur la position relative des points d'une figure. On considère un triangle dont les sommets sont nommés A, B et C, ainsi qu'une droite nommée d. La droite d rencontre le côté AB en un point strictement situé entre A et B. Elle ne passe par aucun des trois sommets. Dans ces conditions, d rencontre nécessairement le côté AC ou le côté BC.

Le mot « côté » désigne ici le segment joignant deux sommets, et non toute la droite qui porte ce segment. La condition « entre A et B » exclut donc A, B et les points placés au-delà de ces sommets. L'axiome formalise une propriété d'incidence et d'ordre, sans demander de longueur, d'angle ni de coordonnées. Formulé par Moritz Pasch, il ne figurait pas dans la formulation originale d'Euclide. Dans l'axiomatique de Hilbert, il apparaît comme le quatrième axiome d'ordre.

Soit un triangle de sommets A, B et C. Si une droite d coupe le segment AB en un point strictement compris entre A et B, et si d ne passe par aucun sommet du triangle, alors d coupe au moins l'un des deux segments AC et BC. Les hypothèses portent donc sur une intersection intérieure à un côté et sur l'absence de passage par un sommet ; la conclusion porte sur un autre côté du triangle.

L'axiome s'applique à un triangle non réduit à un simple alignement de ses trois sommets, dans le plan de la figure. Il faut vérifier que la droite rencontre réellement l'intérieur d'un côté et qu'elle évite A, B et C. Une intersection avec la seule droite support de AB, au-delà de A ou de B, ne remplit pas l'hypothèse.

Par exemple, une droite passant par C et par un point intérieur à AB traverse bien le triangle, mais le passage par C est précisément exclu. Dans ce cas, l'axiome de Pasch ne fournit pas sa conclusion : il faut décrire directement les intersections de la figure, sans invoquer cet énoncé.

Dans un repère, prenons le triangle A(0 ; 0), B(6 ; 0), C(2 ; 4), et la droite d d'équation x = 3.
Données : A(0 ; 0), B(6 ; 0), C(2 ; 4) et d : x = 3.

1. Le côté AB est horizontal, de x = 0 à x = 6. La droite d le rencontre en P(3 ; 0), et 3 est strictement compris entre 0 et 6.

2. Sur le côté BC, les coordonnées passent de B(6 ; 0) à C(2 ; 4). Son équation est y = −x + 6. Pour x = 3, on obtient y = 3 : d rencontre donc BC au point Q(3 ; 3).

3. Le point Q est bien intérieur au segment BC. La droite d ne passe par aucun sommet, car leurs abscisses sont 0, 6 et 2, jamais 3. Les hypothèses sont satisfaites et la seconde intersection annoncée par l'axiome est Q.

La figure rend visible le trajet de d : elle entre par P sur AB et ressort par Q sur BC. Le contrôle se refait en remplaçant x par 3 dans y = −x + 6, ce qui redonne exactement 3.

Dans une démonstration de géométrie fondée sur des axiomes, Pasch sert à justifier qu'une droite entrée dans un triangle par l'intérieur d'un côté rencontre encore son bord. Le geste utile consiste à nommer le côté d'entrée, puis à vérifier que la droite évite les sommets.

Devant un dessin, il aide aussi à distinguer ce qui semble évident de ce qui a été posé comme règle. Si l'intersection observée se trouve sur le prolongement d'un côté, on revient aux segments eux-mêmes au lieu d'appliquer l'axiome.

Dans l'axiomatique de Hilbert, le bon réflexe est de chercher Pasch parmi les axiomes d'ordre. Une question portant sur une longueur ou un angle demande au contraire un autre type d'axiome ou de résultat.

Un axiome et un théorème. Dans l'axiomatique de Hilbert décrite ici, l'axiome de Pasch est admis comme quatrième axiome d'ordre ; il n'est pas présenté comme une conclusion déduite des axiomes précédents. Le critère qui tranche est donc son rôle dans le système axiomatique considéré.

Un côté et sa droite support. Le côté AB s'arrête à A et à B, tandis que sa droite support se prolonge dans les deux sens. Une droite qui rencontre ce prolongement au-delà de B coupe la droite support, mais pas le côté AB au sens exigé par Pasch.

Intersection en un sommet. Si d passe par A, B ou C, une hypothèse explicite manque. Le symptôme est immédiat : le point d'intersection est une extrémité de côté. Il faut alors traiter les intersections directement, sans citer Pasch.

Intersection sur un prolongement. Un point situé au-delà de A ou de B appartient à la droite support de AB, mais il n'est pas entre A et B. Il faut vérifier l'appartenance au segment avant d'appliquer l'axiome.

Triangle dégénéré. Si A, B et C sont alignés, la région triangulaire que la droite devrait traverser disparaît. Cette configuration n'est pas le triangle visé par l'énoncé ; il faut revenir à une étude de points alignés.

Conclusion trop précise. L'énoncé garantit une rencontre avec AC ou BC, mais son seul libellé ne dit pas lequel. Pour l'identifier dans une figure donnée, il faut examiner la position de la droite, comme dans l'exemple où le calcul désigne BC.

Les axiomes d'ordre replacent la relation « être entre » dans l'ensemble des règles qui organisent les points d'une géométrie.

L'axiomatique de Hilbert montre le cadre où l'axiome de Pasch occupe la quatrième place parmi les axiomes d'ordre.