axiomatique de Hilbert

Tracez une droite, puis placez un point qui n’est pas sur elle. La géométrie euclidienne permet d’établir qu’une seule droite parallèle à la première passe par ce point. Dans la formulation hilbertienne usuelle, l’axiome des parallèles exclut qu’il y en ait plus d’une ; l’existence est obtenue séparément.

Les cinq groupes fixent séparément les relations entre points, droites et plans, l’ordre des points, l’égalité des figures, les parallèles et la continuité. Ils donnent ainsi un socle rigoureux à la géométrie élémentaire.

L’axiomatique de Hilbert est un système d’axiomes qui fonde rigoureusement la géométrie élémentaire euclidienne. Elle porte sur des points, des droites et des plans, ainsi que sur les relations qui permettent de raisonner avec ces objets.

Ses cinq groupes ont des fonctions distinctes. L’incidence décrit les relations entre points, droites et plans. L’ordre formalise notamment le fait qu’un point soit entre deux autres. La congruence encadre l’égalité des figures. Dans sa formulation hilbertienne usuelle, le groupe des parallèles affirme qu’il passe au plus une parallèle par un point extérieur à une droite ; l’existence est établie séparément. La continuité rassemble des propriétés archimédiennes et de complétude.

Dans le décompte classique retenu ici, le système comprend 20 axiomes répartis en cinq groupes. D’autres présentations historiques peuvent en compter 21 selon la version du texte et la manière de séparer certains énoncés ; il ne s’agit donc pas d’un passage univoque de 21 à 20.

On considère deux données : une droite d et un point A extérieur à d. On cherche ce que le groupe des parallèles autorise à affirmer.

1. On vérifie d’abord la condition : le point A n’appartient pas à la droite d.

2. Dans le plan déterminé par d et A, on construit par A une droite p qui ne rencontre pas d. Les droites p et d sont donc coplanaires et parallèles ; cette étape établit l’existence de p séparément.

3. L’axiome des parallèles affirme qu’il y a au plus une telle droite : aucune seconde droite distincte passant par A ne peut aussi être parallèle à d. Avec l’existence établie à l’étape précédente, on obtient l’unicité.

Le résultat est donc la droite p, unique parallèle à d passant par A : son existence a été obtenue à l’étape 2 et l’absence d’une seconde parallèle à l’étape 3. Le contrôle consiste à vérifier simultanément que A appartient à p et que p ne rencontre pas d. La figure rend visibles ces deux conditions.

Pour lire un raisonnement géométrique, on peut repérer le groupe mobilisé. Une relation entre un point et une droite relève de l’incidence ; la position d’un point entre deux autres fait intervenir l’ordre.

Pour comparer deux figures, on examine les conditions de congruence plutôt que leur seule apparence sur un dessin. Le critère utile est l’égalité géométrique encadrée par les axiomes, non une ressemblance visuelle.

Pour contrôler une construction de parallèle, on vérifie que le point donné est extérieur à la droite, que la parallèle construite dans le plan passe par ce point et que son existence est établie indépendamment de l’axiome qui exclut une seconde parallèle. Si cette absence d’une seconde parallèle n’est pas admise, ce groupe d’axiomes ne convient pas au cadre choisi.

L’axiomatique de Hilbert et un axiome isolé. Un axiome est une proposition de départ ; l’axiomatique est le système organisé qui les rassemble. Dans la formulation hilbertienne usuelle, l’énoncé selon lequel il existe au plus une parallèle par un point extérieur est un axiome ; l’existence est établie séparément, tandis que les cinq groupes forment l’axiomatique.

L’axiomatique et la géométrie euclidienne. La première fournit les axiomes rigoureux ; la seconde est le domaine géométrique qu’ils fondent. Une figure avec une droite et sa parallèle appartient à la géométrie, alors que l’énoncé d’unicité appartient au socle axiomatique.

Prendre 20 ou 21 pour un décompte universel. Le nombre varie selon la version historique et la convention utilisée pour séparer certains énoncés. La présentation classique retenue dans cette fiche compte 20 axiomes en cinq groupes, sans faire de 21 vers 20 un passage nécessaire.

Réduire le système au seul axiome des parallèles. L’unicité de la parallèle ne traite ni l’incidence entière, ni l’ordre, ni la congruence, ni la continuité. Il faut identifier le groupe concerné avant de tirer une conclusion.

Prendre le dessin pour une justification. Une figure peut montrer un point, une droite et une parallèle, mais elle ne prouve pas leur unicité. Cette conclusion vient de l’axiome correspondant ; le dessin sert seulement à contrôler la configuration représentée.

axiome — Pour préciser le statut d’une proposition de départ au sein d’un système axiomatique.

La refonte de la géométrie par David Hilbert — Pour replacer la formalisation des fondements géométriques dans l’œuvre de Hilbert.