axiomes d'incidence

Posez deux points sur une feuille : une seule droite peut passer par les deux. Ajoutez un troisième point qui n'est pas sur cette droite : les trois déterminent alors un seul plan.

Les axiomes d'incidence fixent ce type de relations entre points, droites et plans, sans parler de longueur ni d'angle. Ils disent quels objets existent, quand ils sont uniques et quand une droite entière appartient à un plan.

Dans l'axiomatique de Hilbert, les axiomes d'incidence forment le premier groupe de règles sur les positions relatives des points, des droites et des plans. Dire qu'un point est incident à une droite ou à un plan signifie qu'il lui appartient. Les huit énoncés donnés ici séparent l'existence d'un objet de son unicité.

Règle 1 — existence d'une droite. Par deux points distincts passe au moins une droite.

Règle 2 — unicité de la droite. Par deux points distincts passe une droite unique.

Règle 3 — points sur et hors d'une droite. Toute droite contient au moins deux points, et il existe au moins un point qui n'est pas sur cette droite.

Règle 4 — existence d'un plan. Trois points non alignés appartiennent à au moins un plan, et tout plan contient au moins un point.

Règle 5 — unicité du plan. Par trois points non alignés passe un plan unique.

Règle 6 — droite contenue dans un plan. Si deux points d'une droite appelée d appartiennent à un plan appelé α, toute la droite d est contenue dans α.

Règle 7 — point commun à deux plans. Si deux plans ont un point commun, ils en ont au moins un second ; la droite déterminée par ces deux points communs appartient alors aux deux plans.

Règle 8 — existence de points non coplanaires. Il existe quatre points non coplanaires : tout l'espace ne se réduit donc pas à un seul plan.

Considérons quatre points A, B, C et D non coplanaires, comme le prévoit la règle 8. Les points A, B et C sont donc non alignés. En effet, s'ils appartenaient à une même droite d, deux cas se présentent : si D n'appartient pas à d, la règle 4 fournit un plan contenant A, B et D, et donc d'après la règle 6 la droite d ; si D appartient à d, la règle 3 fournit un point E hors de d, puis les règles 4 et 6 donnent un plan contenant E et d. Dans les deux cas, A, B, C et D seraient coplanaires, contradiction.

1. Les règles 4 et 5 assurent que, par A, B et C, passe un plan unique, que l'on nomme α.

2. Les règles 1 et 2 assurent que, par A et B, passe une droite unique. Comme A et B appartiennent à α, la règle 6 entraîne que cette droite est entièrement contenue dans α. Le même raisonnement vaut pour les droites passant par A et C, puis par B et C.

3. Le point D n'appartient pas à α. Sinon, A, B, C et D seraient coplanaires, contrairement à la donnée de départ.

4. Le contrôle est direct : α contient les trois points A, B et C, tandis que D reste hors de α. La figure matérialise cette configuration d'incidence ; elle ne mesure aucune longueur ni aucun angle.

Pour établir qu'une droite appartient à un plan, il suffit de trouver deux points distincts de cette droite dans le plan. Si un seul point commun est connu, les axiomes d'incidence ne permettent pas cette conclusion.

Pour nommer sans ambiguïté un plan à partir de points, on choisit trois points non alignés. Avec seulement deux points, la droite qui les joint est unique, mais aucun plan unique n'est déterminé.

Pour vérifier qu'une configuration représente bien l'espace visé, on cherche quatre points non coplanaires. Si tous les points restent dans un même plan, la condition d'existence du huitième axiome n'est pas représentée.

Un axiome d'incidence est admis comme règle de départ ; un résultat démontré s'en déduit par raisonnement. Par exemple, l'unicité de la droite passant par deux points distincts est ici un axiome, pas une conclusion à prouver.

L'incidence ne décrit pas une mesure. Savoir que deux points appartiennent à une droite renseigne leur position relative, mais ne donne ni la distance entre eux ni un angle.

Des points alignés appartiennent à une même droite ; des points coplanaires appartiennent à un même plan. Trois points peuvent être coplanaires sans être alignés : c'est précisément le cas qui détermine un plan unique.

La condition « points distincts » est indispensable. Si les deux points choisis coïncident, les axiomes 1 et 2 ne donnent aucune droite unique passant par ce seul point. Il faut sélectionner deux points distincts.

La condition « non alignés » est tout aussi décisive. Trois points alignés ne déterminent pas un plan unique par les axiomes 4 et 5. Pour désigner un plan sans ambiguïté, il faut remplacer l'un des trois par un point hors de leur droite.

Deux plans ayant un point commun ont au moins une droite commune, car ils partagent un second point et la droite passant par ces deux points. Pour conclure que leur intersection entière est cette droite, les plans doivent être distincts ; si les deux plans coïncident, leur intersection est le plan lui-même.

Un dessin peut rendre l'incidence plausible sans la démontrer. L'épaisseur d'un trait, la perspective ou un croisement apparent ne remplace jamais les appartenances données par les axiomes ; il faut revenir aux points déclarés sur chaque droite ou plan.

La notion générale d'axiome précise le rôle logique d'une règle admise au départ d'une théorie. Elle aide à distinguer les huit hypothèses d'incidence des conséquences que l'on peut ensuite démontrer.