Pasch Moritz

En 1865, à Breslau, Moritz Pasch soutient une thèse sur la projection de sections coniques en cercles. En 1882, il publie Vorlesungen über neuere Geometrie. Son idée directrice est concrète : un dessin peut guider l’œil, mais un raisonnement géométrique doit dire exactement quelles règles il emploie.

Imaginez une droite qui entre dans un triangle par un côté sans passer par un sommet. Elle doit en ressortir par un autre côté. Ce constat paraît évident dans la représentation ; Pasch montre justement qu’une telle évidence doit être formulée comme un axiome si elle intervient dans une démonstration.

Moritz Pasch (1843–1930) est un mathématicien allemand dont les travaux portent sur les fondements de la géométrie. Après des études à Breslau et une thèse soutenue en 1865 sur la projection de sections coniques en cercles, il travaille à Berlin avec Weierstrass et Kronecker. Il enseigne ensuite à l’université de Giessen, où il exerce aussi des fonctions administratives. Retraité en 1911, il continue ses recherches et ses publications.

Pasch cherche à séparer ce qui est déduit des axiomes de ce que le dessin semble rendre évident. La forme plane courante de l’axiome de Pasch considère un triangle et une droite de son plan qui ne passe par aucun sommet. Si cette droite rencontre l’intérieur d’un côté, elle rencontre aussi l’intérieur de l’un des deux autres côtés. Cette règle formalise une relation d’ordre — être situé entre deux points — que certains raisonnements des Éléments d’Euclide utilisaient sans l’énoncer explicitement.

En 1882, Pasch expose cette exigence de rigueur dans Vorlesungen über neuere Geometrie, traduit par Leçons sur la nouvelle géométrie. L’ouvrage influence Peano et Hilbert. L’axiome portant son nom est ensuite intégré à l’axiomatique de Hilbert : il constitue ainsi une trace précise du rôle de Pasch dans la refonte axiomatique de la géométrie.

Prenons un triangle de sommets A, B et C. Une droite ℓ de son plan coupe le côté AC au point rouge P, puis le côté CB au point rouge Q. Les données sont les suivantes : A, B et C ne sont pas alignés ; ℓ ne passe par aucun sommet ; P est à l’intérieur du segment AC.

1. On repère d’abord l’entrée de ℓ dans le triangle : c’est le point P, situé entre A et C.
2. Comme ℓ ne passe ni par A, ni par B, ni par C, aucun sommet ne peut servir de sortie.
3. L’axiome de Pasch impose alors une seconde intersection sur l’un des deux autres côtés.
4. Dans cette configuration, cette intersection est Q, situé entre C et B.

Le résultat vérifiable est donc que ℓ traverse deux côtés du triangle : AC en P et CB en Q. Pour contrôler le raisonnement, on vérifie séparément que les deux points rouges appartiennent bien à l’intérieur de leurs segments et que la droite évite les trois sommets.

Dans une démonstration de géométrie, un dessin peut suggérer qu’une droite ressort d’un triangle. Le geste rigoureux consiste à identifier l’axiome qui autorise cette conclusion. Si la droite passe par un sommet, on traite ce cas séparément au lieu d’invoquer Pasch.

Dans l’étude d’un système axiomatique, on distingue les règles admises des résultats démontrés. Lorsque la propriété de traversée est posée comme point de départ, on parle de l’axiome de Pasch ; lorsqu’une autre axiomatique permet de la déduire, on la présente comme un théorème de ce système.

En histoire des mathématiques, le repère décisif est 1882 : Vorlesungen über neuere Geometrie porte le projet de rendre explicites les présupposés de la géométrie. Pour suivre la reprise de cette démarche, l’article sur la refonte de la géométrie par David Hilbert est plus pertinent qu’une simple lecture chronologique des biographies.

Moritz Pasch et l’axiome de Pasch. Le premier est le mathématicien né en 1843 ; le second est une règle géométrique portant son nom. Une question sur sa carrière appelle la biographie, tandis qu’une droite traversant un triangle appelle l’axiome.

Axiome et théorème. Un axiome est admis comme point de départ dans un système donné ; un théorème y est démontré. Le critère est donc le rôle logique de l’énoncé, non son caractère évident sur une figure.

Travaux de Pasch et axiomatique de Hilbert. Pasch met en évidence des présupposés géométriques et publie son ouvrage en 1882. Hilbert reprend ensuite l’axiome de Pasch dans sa propre axiomatique. L’intégration ultérieure ne fait pas de Hilbert l’auteur de l’axiome.

Une figure n’est pas une preuve. Le symptôme est une conclusion tirée seulement de ce que l’œil voit. Il faut nommer l’axiome utilisé et vérifier ses hypothèses, notamment la position de la droite et des sommets.

Le passage par un sommet est un cas charnière. Si la droite contient A, B ou C, la formulation courante donnée ici ne s’applique pas. On isole ce cas au lieu de prétendre que le sommet appartient à l’intérieur de deux côtés.

Le dessin suppose un ordre. Dire que P est à l’intérieur du segment AC signifie que P est entre A et C. Sans relation d’ordre définie, l’image d’une droite qui « entre » puis « sort » ne suffit pas à formuler l’axiome.

L’influence ne signifie pas identité. L’axiome de Pasch est repris dans l’axiomatique de Hilbert, mais les deux œuvres ne se réduisent pas l’une à l’autre. Pour attribuer un résultat, on conserve son intitulé et son auteur précis.

L’axiome de Pasch approfondit la règle géométrique associée au nom de Pasch et ses conditions d’emploi.

L’entrée axiomatique situe la différence entre principes admis, définitions et résultats démontrés.

L’article La refonte de la géométrie par David Hilbert montre le prolongement historique du projet de rigueur géométrique.

La fiche Euclide replace les Éléments dans l’histoire à laquelle répond le travail critique de Pasch.